חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
2. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
3. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
4. $1\sqrt{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{5}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{5}=1\sqrt{5}$.
5. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
6. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.
7. $2\sqrt{7}$ — מפרקים את 28 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$.
8. $x<-6$ או $x>-2$ — שורשים $x=-6,-2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-6$ או $x>-2$.
9. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
10. $a^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{3}\cdot a^{3}=a^{3+3}=a^{6}$.
11. $x=5,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-3))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-3$.
12. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
13. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
14. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
15. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
16. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
17. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
18. $x^{10}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $9+4-3=10$, לכן התוצאה $x^{10}$.
19. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).
20. $x=5,\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(-10)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=-2$.
21. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
22. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
23. שני פתרונות — $\Delta=-5^2-4\cdot1\cdot(6)=1$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
24. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(4)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
25. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
26. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
27. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
28. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
29. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
30. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.