חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=6$ — מכנה משותף 6: $\frac{2x+x}{6}=3\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6$.
2. $x=6,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(6))(x-(1))=0$, ולכן $x=6$ או $x=1$.
3. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
4. $2\sqrt{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
5. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
6. $a^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$.
7. $(x-6)^2$ — $x^2-12x+36=(x-6)^2$.
8. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
9. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
10. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
11. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
12. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.
13. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
14. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
15. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
16. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
17. $m^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+2-2=5$, לכן התוצאה $m^{5}$.
18. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
19. $\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$.
20. $\dfrac{1}{a^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}$.
21. $x^{14}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{7}=x^{2\cdot 7}=x^{14}$.
22. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
23. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
24. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
25. $\sqrt[3]{a^{4}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^{4}}$.
26. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
27. $30000$ — כתיב מדעי: $3\times 10^{4}=30000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
28. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
29. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
30. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.