חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
2. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
3. $1<x<7$ — שורשים $x=1,7$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<7$.
4. $5$ — $5x+10=5(x+2)$, מצמצמים: $5$.
5. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
6. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(4)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
7. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
8. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$.
9. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
10. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
11. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
12. $x=4,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-1))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-1$.
13. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
14. $\sqrt[5]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{x^{1}}$.
15. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
16. $x<-2$ או $x>3$ — שורשים $x=-2,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-2$ או $x>3$.
17. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
18. $x<-5$ או $x>-1$ — שורשים $x=-5,-1$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-5$ או $x>-1$.
19. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
20. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
21. $b^{4}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $b^{2}\cdot b^{2}=b^{2+2}=b^{4}$.
22. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
23. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
24. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
25. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
26. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
27. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
28. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 6: $36=6^{2}$. לכן $6^{x}=6^{2}$ ומכאן $x=2$.
29. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{8}\div x^{4}=x^{8-4}=x^{4}$.
30. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.