חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{1}{x^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$.
2. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
3. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
4. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
5. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
6. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
7. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
8. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
9. $2.3\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $2300=2.3\times 10^{3}$.
10. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
11. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
12. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
13. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
14. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $27=3^{3}$. לכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
15. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
16. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
17. $\dfrac{1}{27}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}$.
18. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
19. $x=10,\ x=4$ — $|x-7|=3$ נותן שני מקרים: $x-7=3$ או $x-7=-3$, ומכאן $x=10$ או $x=4$.
20. $5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $50000=5\times 10^{4}$.
21. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
22. $5$ — $5x+10=5(x+2)$, מצמצמים: $5$.
23. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
24. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
25. $m=6 \text{ או } m=-6$ — $\Delta=m^2-36=0\Rightarrow m=\pm6$.
26. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
27. $m=4$ — $\Delta=16-4m=0\Rightarrow m=4$.
28. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
29. $b^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(b^{3}\right)^{3}=b^{3\cdot 3}=b^{9}$.
30. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.