חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$.
2. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
3. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
4. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
5. $90000$ — כתיב מדעי: $9\times 10^{4}=90000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
6. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
7. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
8. $\sqrt[2]{x^{5}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[2]{x^{5}}$.
9. $x=3$ — כפל צולב: $4(x-1)=2(x+1)\Rightarrow4x-4=2x+2\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
10. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
11. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.
12. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
13. $x=3,\ x=-3$ — $x^2=9\Rightarrow x=\pm3$.
14. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
15. $-1\leq x\leq 5$ — $-9\leq3x-6\leq9\Rightarrow-3\leq3x... \Rightarrow-1\leq x\leq5$.
16. $x=4,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-1))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-1$.
17. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
18. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
19. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $3=3^{1}$. לכן $3^{x}=3^{1}$ ומכאן $x=1$.
20. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
21. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
22. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
23. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
24. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
25. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
26. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.
27. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
28. $x>4$ — מעבירים: $3x>12$, מחלקים ב-3: $x>4$.
29. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
30. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).