חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
2. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{10}\div x^{6}=x^{10-6}=x^{4}$.
3. $\sqrt[3]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^{1}}$.
4. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
5. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
6. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
7. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
8. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
9. $x^{10}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $9+4-3=10$, לכן התוצאה $x^{10}$.
10. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
11. $x<3$ — $-3x>-9\Rightarrow x<3$.
12. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
13. $x>-3$ — $-2x<6$, חלוקה בשלילי הופכת: $x>-3$.
14. $5$ — $5x+10=5(x+2)$, מצמצמים: $5$.
15. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $100=10^{2}$. לכן $10^{x}=10^{2}$ ומכאן $x=2$.
16. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
17. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
18. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $27=3^{3}$. לכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
19. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
20. $x=5,\ y=1$ — חיבור: $3x=15\Rightarrow x=5$, $y=1$.
21. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
22. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
23. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
24. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{6}\div x^{2}=x^{6-2}=x^{4}$.
25. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.
26. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
27. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
28. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
29. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
30. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.