חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=1,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(-5))=0$, ולכן $x=1$ או $x=-5$.
2. $8x^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(2x\right)^{3}=8x^{3}$.
3. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
4. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
5. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
6. $x=7,\ x=5$ — $|x-6|=1$ נותן שני מקרים: $x-6=1$ או $x-6=-1$, ומכאן $x=7$ או $x=5$.
7. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
8. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
9. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.
10. $1<x<4$ — הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
11. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
12. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
13. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
14. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
15. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
16. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
17. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
18. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
19. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
20. $x<-6$ או $x>-2$ — שורשים $x=-6,-2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-6$ או $x>-2$.
21. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
22. $\dfrac{1}{x^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$.
23. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
24. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
25. $5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $50000=5\times 10^{4}$.
26. $x=3,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(6))=0$, ולכן $x=3$ או $x=6$.
27. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
28. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
29. $x^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{3}=x^{2\cdot 3}=x^{6}$.
30. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).