חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
2. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
3. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
4. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
5. $x=7,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot1\cdot(-35)=144$. $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}$, כלומר $x=7$ או $x=-5$.
6. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
7. $m^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+2-2=5$, לכן התוצאה $m^{5}$.
8. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
9. $\sqrt[3]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^{1}}$.
10. $x=3,\ y=2$ — מציבים $x=3$: $6+3y=12\Rightarrow y=2$.
11. $x^{3}y^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{3}=x^{3}y^{3}$.
12. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $8=2^{3}$. לכן $2^{x}=2^{3}$ ומכאן $x=3$.
13. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
14. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
15. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
16. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$.
17. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
18. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
19. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
20. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
21. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $25=5^{2}$. לכן $5^{x}=5^{2}$ ומכאן $x=2$.
22. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
23. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
24. $x=-1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(4))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=4$.
25. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
26. $x>4$ — מעבירים: $3x>12$, מחלקים ב-3: $x>4$.
27. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
28. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2$ — נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ כאשר $a=3x$, $b=2$: $(3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2 = 9x^2-12x+4$.
29. $6$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $36^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{36}=6$.
30. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.