חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
2. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
3. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
4. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$.
5. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
6. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
7. $b^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+2-3=5$, לכן התוצאה $b^{5}$.
8. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $4=2^{2}$. לכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
9. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
10. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
11. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
12. $m>25$ — $\Delta=100-4m<0\Rightarrow m>25$.
13. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
14. $x=-5,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-5))(x-(3))=0$, ולכן $x=-5$ או $x=3$.
15. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
16. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{6}\right)^{2}=x^{6\cdot 2}=x^{12}$.
17. $x=3,\ x=-3$ — $x^2=9\Rightarrow x=\pm3$.
18. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
19. $y^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $y^{6}\div y^{1}=y^{6-1}=y^{5}$.
20. $x=1,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(-5))=0$, ולכן $x=1$ או $x=-5$.
21. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
22. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
23. $x+3$ — $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, מצמצמים: $x+3$.
24. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
25. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
26. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
27. $90000$ — כתיב מדעי: $9\times 10^{4}=90000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
28. $\dfrac{1}{x^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$.
29. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
30. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.