חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=2,\ x=-7$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-7))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-7$.
2. $a^{7}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $8+3-4=7$, לכן התוצאה $a^{7}$.
3. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
4. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
5. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
6. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
7. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
8. שני פתרונות — $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
9. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
10. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
11. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
12. $2.3\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $2300=2.3\times 10^{3}$.
13. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
14. $x^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{4}\cdot x^{2}=x^{4+2}=x^{6}$.
15. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
16. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $8=2^{3}$. לכן $2^{x}=2^{3}$ ומכאן $x=3$.
17. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
18. $\sqrt[2]{y^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $y^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{y^{3}}$.
19. $700000$ — כתיב מדעי: $7\times 10^{5}=700000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
20. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.
21. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
22. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
23. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
24. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
25. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
26. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
27. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
28. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
29. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
30. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$.