חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
2. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
3. $m>25$ — $\Delta=100-4m<0\Rightarrow m>25$.
4. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
5. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$. המסיח $5\sqrt{2}$ שגוי — הוא נובע מבלבול בין חילוק שורשים לבין כפל, ו-$25$ שגוי כי שכחו לחשב את השורש.
6. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
7. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
8. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
9. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
10. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
11. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
12. $9.6\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $9600=9.6\times 10^{3}$.
13. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
14. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
15. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
16. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.
17. $(x-2)(x^2+2x+4)$ — הפרש קוביות: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
18. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
19. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
20. $x=10,\ x=-8$ — $|x-1|=9$ נותן שני מקרים: $x-1=9$ או $x-1=-9$, ומכאן $x=10$ או $x=-8$.
21. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
22. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
23. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
24. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
25. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $25=5^{2}$. לכן $5^{x}=5^{2}$ ומכאן $x=2$.
26. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
27. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
28. $x=5,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(2))=0$, ולכן $x=5$ או $x=2$.
29. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
30. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.