חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
2. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
3. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
4. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
5. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
6. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
7. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
8. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
9. $700000$ — כתיב מדעי: $7\times 10^{5}=700000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
10. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
11. $2\sqrt{7}$ — מפרקים את 28 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$.
12. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $4=2^{2}$. לכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
13. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 4: $16=4^{2}$. לכן $4^{x}=4^{2}$ ומכאן $x=2$.
14. $x<-3$ או $x>3$ — שורשים $x=-3,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>3$.
15. $x=\frac{1}{3},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}$, כלומר $x=\frac{1}{3}$ או $x=-2$.
16. $x<-4$ או $x>4$ — שורשים $x=-4,4$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-4$ או $x>4$.
17. $2\sqrt{5}$ — מפרקים את 20 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$.
18. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
19. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$.
20. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2$ — נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ כאשר $a=3x$, $b=2$: $(3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2 = 9x^2-12x+4$.
21. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
22. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.
23. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
24. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
25. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
26. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
27. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
28. $x=4,\ x=2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-6^2-4\cdot1\cdot(8)=4$. $x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=2$.
29. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
30. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.