חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
2. $x=3,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(4))=0$, ולכן $x=3$ או $x=4$.
3. $b^{2}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $b^{4}\div b^{2}=b^{4-2}=b^{2}$.
4. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
5. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
6. $x=3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$. $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-5$.
7. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{8}\div x^{4}=x^{8-4}=x^{4}$.
8. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
9. $a^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{10}\div a^{4}=a^{10-4}=a^{6}$.
10. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
11. $x=2,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(3))=0$, ולכן $x=2$ או $x=3$.
12. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
13. $\frac{x+y}{xy}$ — מכנה משותף $xy$: $\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$.
14. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
15. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה כפולה של הראשונה — שתי המשוואות זהות, ולכן אינסוף פתרונות.
16. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
17. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
18. $x<-4$ או $x>4$ — שורשים $x=-4,4$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-4$ או $x>4$.
19. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
20. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
21. $x=-3,\ x=-4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(-4))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=-4$.
22. $-3<x<3$ — $|2x|<6\Rightarrow|x|<3\Rightarrow-3<x<3$.
23. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
24. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
25. $5$ — $5x+10=5(x+2)$, מצמצמים: $5$.
26. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
27. $a^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$.
28. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
29. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
30. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.