חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
2. $x=-1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(4))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=4$.
3. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
4. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
5. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
6. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
7. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
8. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
9. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
10. $x<-6$ או $x>-2$ — שורשים $x=-6,-2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-6$ או $x>-2$.
11. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
12. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
13. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
14. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
15. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
16. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
17. $x=\frac{5}{2},\ x=-1$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot2\cdot(-5)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{5}{2}$ או $x=-1$.
18. פתרון יחיד — $\Delta=-6^2-4\cdot3\cdot(3)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
19. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
20. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
21. $x=7,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot1\cdot(-35)=144$. $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}$, כלומר $x=7$ או $x=-5$.
22. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
23. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
24. $x=5,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-3))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-3$.
25. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
26. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
27. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
28. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
29. $x=5,\ x=-7$ — $|x+1|=6$ נותן שני מקרים: $x+1=6$ או $x+1=-6$, ומכאן $x=5$ או $x=-7$.
30. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.