חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{1}{a^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}$.
2. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
3. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
4. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
5. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
6. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
7. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$.
8. $x=2,\ y=3$ — השוואה: $x+1=2x-1\Rightarrow x=2$, $y=3$.
9. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
10. $x=10,\ x=4$ — $|x-7|=3$ נותן שני מקרים: $x-7=3$ או $x-7=-3$, ומכאן $x=10$ או $x=4$.
11. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2$ — נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ כאשר $a=3x$, $b=2$: $(3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2 = 9x^2-12x+4$.
12. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
13. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
14. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
15. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
16. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$. המסיח $5\sqrt{2}$ שגוי — הוא נובע מבלבול בין חילוק שורשים לבין כפל, ו-$25$ שגוי כי שכחו לחשב את השורש.
17. $a^{15}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{5}\right)^{3}=a^{5\cdot 3}=a^{15}$.
18. $x=\frac{3}{2},\ x=\frac{-1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-4^2-4\cdot4\cdot(-3)=64$. $x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2\cdot4}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=\frac{-1}{2}$.
19. $x=3$ — כפל צולב: $4(x-1)=2(x+1)\Rightarrow4x-4=2x+2\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
20. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
21. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
22. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
23. $m^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+2-2=5$, לכן התוצאה $m^{5}$.
24. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
25. $4000000$ — כתיב מדעי: $4\times 10^{6}=4000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
26. $3\sqrt{7}$ — מפרקים את 63 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$.
27. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
28. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
29. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
30. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $1000=10^{3}$. לכן $10^{x}=10^{3}$ ומכאן $x=3$.