חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
2. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
3. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
4. $a^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{10}\div a^{4}=a^{10-4}=a^{6}$.
5. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
6. $x=10,\ x=4$ — $|x-7|=3$ נותן שני מקרים: $x-7=3$ או $x-7=-3$, ומכאן $x=10$ או $x=4$.
7. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
8. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $25=5^{2}$. לכן $5^{x}=5^{2}$ ומכאן $x=2$.
9. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
10. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
11. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
12. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
13. $\dfrac{1}{x^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$.
14. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
15. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
16. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.
17. $\sqrt[5]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{x^{1}}$.
18. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.
19. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
20. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
21. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
22. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
23. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
24. $x=5,\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(-10)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=-2$.
25. $x=2,\ y=4$ או $x=-1,\ y=1$ — $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$.
26. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
27. $x=3,\ x=\frac{1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$, כלומר $x=3$ או $x=\frac{1}{2}$.
28. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
29. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
30. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.