חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $4+2-1=5$, לכן התוצאה $y^{5}$.
2. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
3. $x=9,\ x=-5$ — $|x-2|=7$ נותן שני מקרים: $x-2=7$ או $x-2=-7$, ומכאן $x=9$ או $x=-5$.
4. $(x-2)(x^2+2x+4)$ — הפרש קוביות: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
5. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.
6. $x^{9}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{7}\cdot x^{2}=x^{7+2}=x^{9}$.
7. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$.
8. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
9. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
10. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
11. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
12. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
13. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
14. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
15. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
16. $-3<x<3$ — $|2x|<6\Rightarrow|x|<3\Rightarrow-3<x<3$.
17. $x=3,\ y=6$ — הצבה: $x+2x=9\Rightarrow x=3$, $y=6$.
18. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
19. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה כפולה של הראשונה — שתי המשוואות זהות, ולכן אינסוף פתרונות.
20. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
21. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
22. $\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$.
23. $a^{15}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{5}\right)^{3}=a^{5\cdot 3}=a^{15}$.
24. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
25. $3\sqrt{7}$ — מפרקים את 63 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$.
26. $x^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{3}=x^{2\cdot 3}=x^{6}$.
27. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
28. $x=4$ — $8=4(x-2)\Rightarrow x-2=2\Rightarrow x=4$ ($x\neq2$).
29. $x=2,\ y=3$ — השוואה: $x+1=2x-1\Rightarrow x=2$, $y=3$.
30. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.