חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $1.8\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $180000=1.8\times 10^{5}$.
2. $4$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$.
3. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
4. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
5. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(3)=-11$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
6. $m^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $m^{9}\div m^{5}=m^{9-5}=m^{4}$.
7. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
8. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
9. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
10. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
11. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
12. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
13. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
14. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
15. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
16. $\sqrt[3]{a^{4}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^{4}}$.
17. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
18. $-3<x<3$ — $|2x|<6\Rightarrow|x|<3\Rightarrow-3<x<3$.
19. $x=4,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-1))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-1$.
20. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
21. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
22. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.
23. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
24. $x=4,\ y=2$ — $x=2y$, ואז $6y+y=14\Rightarrow y=2$, $x=4$.
25. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
26. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
27. $b^{2}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $b^{4}\div b^{2}=b^{4-2}=b^{2}$.
28. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
29. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2$ — נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ כאשר $a=3x$, $b=2$: $(3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2 = 9x^2-12x+4$.
30. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.