גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6 — השיפוע של הראשון −a/2. (−a/2)·(1/3) = −1 ⇒ a = 6.
2. 4√2 — במשולש שווה שוקיים ישר זווית, הגובה ליתר שווה למחצית היתר: CD = 8√2/2 = 4√2.
3. C(8, 2) — C = B + D − A = (4+5−1, 5+(−2)−1) = (8, 2). בדיקה: |AB|=5, |AD|=5 ✓.
4. 3√3 ס"מ — h = AD·sin A = 6·sin 60° = 6·(√3/2) = 3√3 ס"מ.
5. 3 ס"מ — הפרש בסיסים מתחלק שווה: (14−6)/2 = 4. גובה = √(5² − 4²) = √9 = 3 ס"מ.
6. 1 — k = 3·2 − 5 = 1.
7. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
8. 8 — יחס צלעות במשולש 30-60-90 הוא 1:√3:2 (מול 30°:60°:90°). אם הצלע מול 30° היא 4, היתר = 2·4 = 8.
9. 10 — במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה לחצי היתר. אם התיכון = 5, אז BC = 10.
10. 3/2 — −2y = −3x − 8 ⇒ y = (3/2)x + 4. השיפוע 3/2.
11. 4.8 — AD=√(100-36)=8. שטח ADC = (DC·AD)/2 = (6·8)/2 = 24. גם = (AC·DE)/2 = (10·DE)/2 = 5·DE. לכן DE=24/5=4.8.
12. 3√3 — מול 60° = √3 · (מול 30°). אז מול 30° = 9/√3 = 3√3.
13. 10·sin 18° ס"מ — הגובה חוצה את זווית A. במשולש ABD: זווית BAD = 18°, AB = 10. BD = AB·sin 18° = 10·sin 18°.
14. 30° — סכום הזוויות 180°. זווית ראש = 180° − 2·75° = 30°.
15. מעוין — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |AD|=5. כל הצלעות שוות, מקבילית. שיפועי אלכסונים: AC=4/8=1/2, BD=−2 — מכפלה −1 ⇒ אלכסונים ניצבים — מעוין.
16. D(3, 4) — במעוין (מקבילית): D = A + C − B = (0+8−5, 0+4−0) = (3, 4). |AD|=5=|AB| ✓.
17. ריבוע — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |AD|=5 — מעוין. שיפוע AB=3/4, שיפוע BC=−4/3, מכפלה=−1 ⇒ זווית ישרה. גם מעוין וגם מלבן = ריבוע.
18. 11 — קטע אמצעים = (AB+CD)/2 = (8+14)/2 = 11.
19. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
20. 24 ס"מ — חצי אלכסון אחד=5. חצי השני=√(169−25)=12. השני = 24.
21. −1/4 — ניצבים: m₁·m₂ = −1. k · 4 = −1 ⇒ k = −1/4.
22. (6, 0) — שיפוע ניצב: −1/2. ישר: y = −x/2 + 3. y=0 ⇒ x = 6.
23. 48 סמ² — שני משולשים שווי שטח (24 כל אחד). סה"כ 48 סמ².
24. 6√3 — צלע מול 60° = יתר·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3.
25. 120 סמ² — (d₂/2)² = 13² − 5² = 144 ⟸ d₂ = 24. שטח = (10·24)/2 = 120 סמ².