גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.
2. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(1)}{3-(1)} = \frac{4}{2} = 2$.
3. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
4. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
5. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{12-(3)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
6. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
7. $(x+1)^2+(y+3)^2=25$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-1,\ b=-3,\ r=5$: $(x+1)^2+(y+3)^2=25$.
8. $3\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.
9. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
10. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
11. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
12. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
13. $y=-x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=-1(x-(-2))$, כלומר $y=-1x+1$.
14. $\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $180^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \pi$.
15. $(0,0),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
16. $(-3,-1),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-3,-1)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
17. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
18. $(0,-3),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
19. $(-1,1)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-4+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-1,1)$.
20. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
21. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
22. $120^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 120^\circ$.
23. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
24. $m=3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $3$.
25. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4\cdot3+3\cdot1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$.
26. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
27. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
28. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
29. $(5,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(5,2)$.
30. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.