⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 30 שאלות · ~75 דק'
📈
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל
30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
- 🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'
- 1.מצא m כך שהישר y = mx − 4 משיק לפרבולה y = x².y = x²
- 2.נתון g(x) = −|x − 1| + 4. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = |x|?
- 3.מה ניתן להסיק מכך שהגרפים של y = f(x) ו-y = g(x) נחתכים בנקודה (2, 5)?
- 4.כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) ביחס לזמן: h(t) = −5t² + 20t. מהו הגובה המקסימלי?
- 5.אם f(x) = 2x + 1, מהי f⁻¹(x) (הפונקציה ההופכית)?y = 2x + 1
- 6.f(x) = |x|. כתוב את −|x − 3| + 5. אילו טרנספורמציות חלו (בסדר)?
- 7.מהן נקודות החיתוך של f(x) = x² ו-g(x) = x + 2?y = x²
- 8.g(x) = f(4x) + 2. אילו טרנספורמציות חלו על f?
- 9.f(x) = |x|. הפונקציה נמתחת אנכית פי 2 ואז מוכפלת ב-(−1). מהי g(x)?
- 10.f(x) = √x. מהי הפונקציה לאחר שיקוף לציר ה-y?
- 11.נתון g(x) = −x³. אילו טרנספורמציות בוצעו על f(x) = x³?y = x
- 12.g(x) = (3x)² − מהי גם דרך לכתוב את הפונקציה הזו?
- 13.מהו תחום ההגדרה של g(x) = 1/(x − 5)?
- 14.f(x) = |x|. נקודה (2, 2) עוברת לאן ב-g(x) = −3|x − 1| + 5?
- 15.נתון g(x) = f(2(x − 1)) + 3 כאשר f(x) = x². אילו טרנספורמציות חלו?y = x²
- 16.אם f(x) = 2x - 6, מהו f⁻¹(0)?y = 2x − 6
- 17.g(x) = f(x/3) כאשר f(x) = √x. אילו טרנספורמציה זו?
- 18.נתון g(x) = 2√(x + 3) − 1. אילו טרנספורמציות בוצעו על f(x) = √x?
- 19.מהו תחום ההגדרה של g(x) = 1/√(x − 1)?
- 20.נתון f(x) = x² ו-g(x) = x - 1. מהו f(g(3))?y = x²
- 21.מהו טווח הערכים של g(x) = √x + 3?
- 22.g(x) = (1/2)·x² − שילוב של אילו טרנספורמציות?
- 23.g(x) = −2|x|. מה היחס בין g(3) ל-|3|?
- 24.f(x) = √x. הגרף הוזז 4 שמאלה והוזז 1 מטה. מהי g(x)?
- 25.f(x) = x³. כתוב g(x) שמוזזת 1 שמאלה ו-8 מעלה.y = x
- 26.f(x) = x². כתוב g שהיא הזזה ימינה ב-2 ומעלה ב-5.y = x²
- 27.f(x) = x². כתוב g(x) = −f(−x).y = x²
- 28.f(x) = x², g(x) = (x − 1)² + 4. תאר את הקשר.y = x²
- 29.מחיר מוצר ירד מ-100 ₪ ב-x ₪. מספר היחידות הנמכרות: 20 + x. מהו x שממקסם הכנסה?
- 30.נתונות f(x) = 2x ו-g(x) = x + 3. מהו f(g(1))?y = 2x
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
מפתח תשובות ופתרונות
- m = 4 או m = −4 — x² = mx − 4 ⇒ x² − mx + 4 = 0. משיק ⇒ Δ = 0 ⇒ m² − 16 = 0 ⇒ m = ±4.
- ימינה 1, שיקוף ל-x, מעלה 4 — x − 1: ימינה 1. סימן מינוס בחוץ: שיקוף לציר ה-x. +4: מעלה 4.
- f(2) = g(2) = 5 — נקודת חיתוך משותפת ⇒ אותו x נותן אותו y בשני הגרפים.
- 20 מטר — t_v = −20/(−10) = 2. h(2) = −20 + 40 = 20 מטר.
- f⁻¹(x) = (x-1)/2 — y = 2x+1. פתור ל-x: 2x = y-1 → x = (y-1)/2. החלף y ב-x: f⁻¹(x) = (x-1)/2.
- 3 ימינה, שיקוף לציר ה-x, 5 מעלה — (x − 3) = ימינה ב-3. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +5 = 5 מעלה.
- (−1, 1), (2, 4) — x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0. x = 2: y = 4. x = −1: y = 1.
- כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה — f(4x): כיווץ אופקי פי 4. +2 בסוף: הזזה 2 מעלה.
- g(x) = −2|x| — מתיחה פי 2: 2|x|. הכפלה ב-(−1): −2|x|. זה כולל שיקוף לציר ה-x.
- g(x) = √(−x) — שיקוף לציר ה-y: g(x) = f(−x) = √(−x). הסימן השלילי בקלט.
- שיקוף לציר ה-x — g(x) = −f(x) — סימן מינוס בפלט, כלומר שיקוף לציר ה-x.
- g(x) = 9x² — (3x)² = 3²·x² = 9x². ניתן לכתוב את הכיווץ האופקי גם כמתיחה אנכית פי 9.
- x ≠ 5 — מכנה ≠ 0 ⇒ x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5.
- (3, −1) — x חדש: 2 + 1 = 3 (ימינה 1). y חדש: −3·2 + 5 = −6 + 5 = −1.
- כיווץ אופקי ×1/2, ימינה 1, מעלה 3 — f(bx) עם b = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 1/2. x − 1 ⇒ ימינה 1. +3 ⇒ מעלה 3.
- 3 — f⁻¹(x) = (x+6)/2. f⁻¹(0) = 6/2 = 3.
- מתיחה אופקית פי 3 — f(qx) עם q = 1/3 הוא מתיחה אופקית בקנה מידה 1/q = 3.
- שמאלה 3, מתיחה ×2, מטה 1 — x → (x + 3): שמאלה 3. ×2: מתיחה אנכית פי 2. −1: מטה 1.
- x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
- 4 — g(3) = 3-1 = 2. f(g(3)) = f(2) = 2² = 4.
- y ≥ 3 — √x ≥ 0, לכן √x + 3 ≥ 3. טווח y ≥ 3.
- כיווץ אנכי פי 2 — המקדם ½ הוא בין 0 ל-1, מה שמייצג כיווץ אנכי פי 2 (פי 1/(½) = 2).
- −6 לעומת 3 — g(3) = −2·|3| = −2·3 = −6. הערך המקורי |3| = 3.
- g(x) = √(x + 4) − 1 — הזזה שמאלה 4: √(x + 4). הזזה מטה 1: − 1. סופי: √(x + 4) − 1.
- g(x) = (x + 1)³ + 8 — שמאלה 1: x → x + 1. מעלה 8: +8. מתקבל (x + 1)³ + 8.
- g(x) = (x − 2)² + 5 — הזזה ימינה: f(x − 2). הזזה מעלה: + 5. יחד: g(x) = (x − 2)² + 5.
- g(x) = −x² — f(−x) = (−x)² = x². −f(−x) = −x². פונקציה זוגית נשארת ללא שינוי תחת שיקוף לציר ה-y, ואז שיקוף לציר ה-x הופך את סימן הפלט.
- הזזה 1 ימינה ו-4 מעלה — (x − 1) = ימינה 1. +4 = מעלה 4.
- x = 40 — I(x) = (100 − x)(20 + x) = −x² + 80x + 2000. x_v = 80/2 = 40.
- 8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8