אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 2 או x = −3 — כפל ב-x(x+1): 6(x+1) − 6x = x(x+1) ⇒ 6 = x²+x ⇒ x²+x−6 = 0 ⇒ (x+3)(x−2)=0.
2. x = 10/3 — 4/(x+2) = 1/(x−2) ⇒ 4(x−2) = x+2 ⇒ 4x−8 = x+2 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3.
3. x = 14/5 — כפל ב-3: 2x − 5 = 9 − 3x ⇒ 5x = 14 ⇒ x = 14/5.
4. x = 5 — ריבוע: 3x + 1 = 16 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. בדיקה: √16 = 4 ✓.
5. 2 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-−1 (הופך): x²−5x+6 ≤ 0 ⇒ (x−2)(x−3)≤0 ⇒ 2≤x≤3.
6. אין פתרון — כפל במכנה משותף: (x−3)²+(x+2)² = 2(x+2)(x−3). הצד הימני: 2(x²−x−6). הצד השמאלי: 2x²−2x+13. ⇒ 2x²−2x+13 = 2x²−2x−12 ⇒ 13 = −12. סתירה.
7. x ≤ −3 או x ≥ 2 — פירוק: (x + 3)(x − 2). שורשים −3, 2. פרבולה צוחקת ⇒ ≥ 0 מחוץ.
8. k = ±6 — Δ = k² − 36 = 0 ⇒ k² = 36 ⇒ k = ±6.
9. k > 1 — Δ = 4 − 4k < 0 ⇒ k > 1.
10. x < −2 או x > 3 — כפל ב-(−1) והפיכת סימן: x² − x − 6 > 0. שורשים: 3 ו-(−2). פרבולה צוחקת ⇒ מחוץ.
11. k = 3 — מציבים x = 3: 9 − 3(k+1) + k = 0 ⇒ 9 − 3k − 3 + k = 0 ⇒ 6 − 2k = 0 ⇒ k = 3.
12. k = 7 — וייטה: x₁+x₂ = 8, x₁−x₂ = 6 ⇒ x₁ = 7, x₂ = 1. מכפלה = k = 7.
13. x = 57/17 — כופלים ב-10: 5(3x−1) + 2(x+4) = 60 ⇒ 15x − 5 + 2x + 8 = 60 ⇒ 17x + 3 = 60 ⇒ 17x = 57 ⇒ x = 57/17.
14. 1 — [x²]₀¹=1−0=1.
15. 3 — x − 1/x = 8/3. כפל ב-3x: 3x²−8x−3=0. Δ=64+36=100 ⇒ x=(8±10)/6 ⇒ x=3 או x=−1/3. החיובי: 3.
16. x = 11 — פותחים: 5x − 10 = 3x + 12 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11.
17. x = 5 בלבד — √(x+4) = x−2. תנאי x≥2. ריבוע: x+4 = x²−4x+4 ⇒ x²−5x = 0 ⇒ x(x−5)=0. x=0 פסול (x<2). x=5 תקף.
18. k = 3 או k = −2 — Δ = 4k² − 4(k + 6) = 0 ⇒ k² − k − 6 = 0 ⇒ (k − 3)(k + 2) = 0 ⇒ k = 3 או k = −2.
19. x = 4 — חיבור: 3x = 12 ⇒ x = 4.
20. k = 3 — וייטה: x₁+x₂ = 4, x₁−x₂ = 2 ⇒ x₁ = 3, x₂ = 1. מכפלה k = 3.
21. −4 — מכפלת השורשים לפי וייטה = c/a = −12/3 = −4.
22. x = 3, x = −3 — x² = 9 ⇒ x = ±3. אל תשכח את ±.
23. (f'g−fg')/g² — כלל המנה: (f/g)'=(f'g−fg')/g².
24. −4 < x < −2 — (x + 4)(x + 2) < 0. שורשים −4, −2. פרבולה צוחקת ⇒ < 0 בין השורשים.
25. k = −2 — וייטה: סכום השורשים = −(k − 2) = 2 − k. דרישה: 2 − k = 4 ⇒ k = −2.