סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{5}{6}$ — מבין $30$ הבנים, $25$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{5}{6}$.
2. $7$ — ממוצע $= \frac{7+7+7+7}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
3. $\frac{1}{6}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{6}$.
4. $5$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $2, 4, 6, 8$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $2, 4, 6, 8$ הם $4$ ו-$6$, והחציון $= \frac{4+6}{2} = 5$.
5. $\frac{3}{8}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{2}+P(B)\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$.
6. $70$ — ממוצע משוקלל $= \frac{60\cdot2+90\cdot1}{2+1} = \frac{210}{3} = 70$.
7. $\frac{1}{16}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{3}{12}\cdot\frac{3}{12}=\frac{1}{16}$.
8. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
9. $25\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$.
10. $\frac{1}{5}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
11. $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ — מחשבים את השונות כממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע $\bar{x}=3$: $$\sigma^2 = \frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}$$ סטיית התקן היא שורש השונות: $$\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.633$$
12. $\frac{1}{4}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{4}$.
13. $18$ — ממוצע $= \frac{6+12+18+24+30}{5} = \frac{90}{5} = 18$.
14. $4$ — ממוצע $= \frac{2+3+4+5+6}{5} = \frac{20}{5} = 4$.
15. $\frac{1}{2}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{2}$.
16. $\frac{1}{2}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{2}$.
17. $\frac{3}{10}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.
18. $\frac{1}{5}$ — מספר הבנים שעברו $10$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{5}$.
19. $\frac{1}{2}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$.
20. $\frac{2}{3}$ — מבין $30$ הבנים, $20$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{2}{3}$.
21. $\frac{3}{10}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{10-7}{10} = \frac{3}{10}$.
22. $16$ — ממוצע $= \frac{14+16+18}{3} = \frac{48}{3} = 16$.
23. $\frac{1}{2}$ — מספר הבנים שעברו $25$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{2}$.
24. $9$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 10 - 1 = 9$.
25. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{2}{5}+P(B)\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{20}$.
26. $10\%$ — $ \frac{1}{10} = 10\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
27. $\frac{1}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{3}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{2}{9}$. המכפלה $\frac{1}{15}$.
28. $60\%$ — $ \frac{3}{5} = 60\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
29. $\frac{2}{7}$ — הסתברות מחושבת כ-$\frac{\text{מספר המקרים הרצויים}}{\text{סך כל המקרים האפשריים}}$. בכד $7$ כדורים ו-$2$ מהם זהב, ולכן ההסתברות היא $\frac{\text{מספר כדורי זהב}}{\text{סך כל הכדורים}} = \frac{2}{7}$.
30. $\frac{1}{4}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.