סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$.
2. $20$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $20$ מופיע $2$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
3. $78$ — ממוצע משוקלל $= \frac{72\cdot3+96\cdot1}{3+1} = \frac{312}{4} = 78$.
4. $\frac{5}{6}$ — מבין $30$ הבנים, $25$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{5}{6}$.
5. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $4$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
6. $\frac{3}{10}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.
7. $\frac{1}{12}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.
8. $\frac{1}{2}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{2}$.
9. $5$ — ממוצע $= \frac{5+5+5+5}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
10. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $5$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
11. $7$ — ממוצע $= \frac{4+6+8+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
12. $9$ — ממוצע $= \frac{9+9+9}{3} = \frac{27}{3} = 9$.
13. $\sqrt{5}$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(0-3)^2+(2-3)^2+(4-3)^2+(6-3)^2}{4} = 5$. סטיית התקן $= \sqrt{5} = \sqrt{5}$.
14. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.
15. $\frac{7}{9}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
16. $20$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 80\cdot \frac{1}{4} = 20$.
17. $\frac{1}{13}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{13}$.
18. $\frac{1}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{3}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{2}{9}$. המכפלה $\frac{1}{15}$.
19. $\frac{2}{3}$ — האיחוד $\{1,3,5,6\}$ — $4$ מתוך $6$. ההסתברות $= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
20. $70$ — ממוצע משוקלל $= \frac{55\cdot1+75\cdot3}{1+3} = \frac{280}{4} = 70$.
21. $\frac{1}{4}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$.
22. $\frac{80}{3}$ — ממוצע $= \frac{20+35+25}{3} = \frac{80}{3}$.
23. $7$ — השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בסדרה. סופרים את מספר ההופעות של כל ערך: $5$ מופיע פעם אחת, $6$ מופיע פעמיים, $7$ מופיע שלוש פעמים. מאחר ש-$7$ מופיע יותר מכל ערך אחר, השכיח הוא $7$.
24. $\frac{3}{10}$ — המספרים הגדולים מ-$7$ בטווח $1$–$10$ הם: $8, 9, 10$ — סה"כ $3$ מספרים. כלל המקרים האפשריים הוא $10$. לכן ההסתברות היא $\frac{3}{10}$.
25. $\frac{7}{12}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$.
26. $\frac{4}{15}$ — מספר הבנים שעברו $8$ מתוך $30$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{15}$.
27. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $9$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
28. $\frac{2}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{4}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{3}{9}$. המכפלה $\frac{2}{15}$.
29. $\frac{1}{12}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{12-11}{12} = \frac{1}{12}$.
30. $\frac{1}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. הזוג היחיד שסכומו $2$ הוא $(1,1)$, ולכן ההסתברות היא $\frac{1}{36}$.