סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $8$ הוא $5$, ולכן ההסתברות $\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
2. $\frac{3}{10}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
3. $20$ — ממוצע $= \frac{10+20+30}{3} = \frac{60}{3} = 20$.
4. $\frac{1}{28}$ — בשליפה ראשונה $\frac{2}{8}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{1}{7}$. המכפלה $\frac{1}{28}$.
5. $\frac{2}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
6. $\frac{1}{2}$ — מספר הבנים שעברו $30$ מתוך $60$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{2}$.
7. $\frac{1}{3}$ — $2$ מגזרים מתאימים מתוך $6$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{3}$.
8. $7$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $5, 5, 7, 9, 11$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $5, 5, 7, 9, 11$ הוא $7$.
9. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$.
10. $\frac{2}{3}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
11. $720$ — החישוב נותן $720$ אפשרויות.
12. $5$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 5, 9$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 5, 9$ הוא $5$.
13. $80$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 90 - 10 = 80$.
14. $\frac{3}{10}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.
15. $\frac{2}{7}$ — הסתברות מחושבת כ-$\frac{\text{מספר המקרים הרצויים}}{\text{סך כל המקרים האפשריים}}$. בכד $7$ כדורים ו-$2$ מהם זהב, ולכן ההסתברות היא $\frac{\text{מספר כדורי זהב}}{\text{סך כל הכדורים}} = \frac{2}{7}$.
16. $\frac{1}{4}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{4}$.
17. $\frac{5}{9}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
18. $\frac{1}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
19. $\frac{1}{2}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
20. $2$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(1-3)^2+(5-3)^2}{2} = 4$. סטיית התקן $= \sqrt{4} = 2$.
21. $\frac{1}{6}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
22. $10$ — ממוצע $= \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
23. $20$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 40\cdot \frac{1}{2} = 20$.
24. $92$ — ממוצע משוקלל $= \frac{84\cdot1+94\cdot4}{1+4} = \frac{460}{5} = 92$.
25. $\frac{1}{4}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{4}$.
26. $\frac{11}{15}$ — מבין $30$ הבנים, $22$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{11}{15}$.
27. $\frac{1}{18}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $3$ הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
28. $\frac{452}{5}$ — ממוצע משוקלל $= \frac{88\cdot2+92\cdot3}{2+3} = \frac{452}{5} = \frac{452}{5}$.
29. $5$ — החישוב נותן $5$ אפשרויות.
30. $10$ — בחירת ועד של $2$ אנשים מתוך $5$ — הסדר אינו חשוב (חבר ועד א' וחבר ועד ב' זהים לחבר ועד ב' וחבר ועד א'), ולכן משתמשים בצירופים: $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ דרכים.