סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $5$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
2. $0$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2}{3} = 0$. סטיית התקן $= \sqrt{0} = 0$.
3. $9$ — ממוצע $= \frac{9+9+9}{3} = \frac{27}{3} = 9$.
4. $36$ — בכל קובייה $6$ אפשרויות, ולכן $6 \cdot 6 = 36$ תוצאות.
5. $75$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $50, 75, 100$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $50, 75, 100$ הוא $75$.
6. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.
7. $1$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $1$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
8. $\frac{1}{36}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = \frac{1}{36}$.
9. $8$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 9 - 1 = 8$.
10. $\frac{1}{8}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{8}$.
11. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$.
12. $\frac{2}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
13. $\frac{1}{4}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
14. $\frac{3}{5}$ — סך הכדורים $6+4=10$. מספר הכדורים בצבע ירוק הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{5}$.
15. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $8$ הוא $5$, ולכן ההסתברות $\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
16. $\frac{2}{5}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
17. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $6$ הוא $5$, ולכן ההסתברות $\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
18. $65$ — ממוצע משוקלל $= \frac{60\cdot3+80\cdot1}{3+1} = \frac{260}{4} = 65$.
19. $\frac{5}{6}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
20. $\frac{1}{3}$ — החיתוך הוא $\{4,6\}$ — $2$ תוצאות מתוך $6$. ההסתברות $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
21. $\frac{3}{4}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
22. $\frac{3}{10}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$.
23. $85$ — ממוצע משוקלל $= \frac{70\cdot1+100\cdot1}{1+1} = \frac{170}{2} = 85$.
24. $8$ — השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בסדרת הנתונים. סופרים את תדירות כל ערך: $8$ מופיע $2$ פעמים, $9$ מופיע פעם אחת. לכן השכיח הוא $8$. (הערך $8.\overline{3}$ הוא הממוצע: $\frac{8+8+9}{3}=\frac{25}{3}\approx8.\overline{3}$, אך הממוצע שונה מהשכיח.)
25. $\frac{1}{4}$ — לאורך הענף עץ-עץ מכפילים $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
26. $\frac{3}{8}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.
27. $\frac{4}{25}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.
28. $\frac{1}{12}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.
29. $\frac{1}{6}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $7$ הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
30. $\frac{1}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $2$ הוא $1$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$.