סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{4}{25}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{6}{15}\cdot\frac{6}{15}=\frac{4}{25}$.
2. $\frac{1}{28}$ — בשליפה ראשונה $\frac{2}{8}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{1}{7}$. המכפלה $\frac{1}{28}$.
3. $\frac{2}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{4}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{3}{9}$. המכפלה $\frac{2}{15}$.
4. $\frac{2}{3}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
5. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
6. $\frac{1}{12}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{12-11}{12} = \frac{1}{12}$.
7. $\frac{1}{2}$ — מספר הבנים שעברו $25$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{2}$.
8. $4$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 3, 5, 7$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $1, 3, 5, 7$ הם $3$ ו-$5$, והחציון $= \frac{3+5}{2} = 4$.
9. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים כולם שווי סיכוי. הזוגות $(a,b)$ שסכומם $8$ הם: $(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2)$ — סה"כ $5$ זוגות. לכן ההסתברות היא $\frac{5}{36}$.
10. $50\%$ — עלייה $= 45-30=15$. אחוז $= \frac{15}{30}\cdot100\% = 50\%$.
11. $\frac{1}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
12. $20$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $20$ מופיע $2$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
13. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{2}{5}+P(B)\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{20}$.
14. $\frac{1}{4}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{4}$.
15. $\frac{15}{2}$ — ממוצע $= \frac{3+6+9+12}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$.
16. $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ — מחשבים את השונות כממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע $\bar{x}=3$: $$\sigma^2 = \frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}$$ סטיית התקן היא שורש השונות: $$\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.633$$
17. $\frac{2}{5}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
18. $\frac{7}{12}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{5}{12}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$.
19. $62$ — ממוצע משוקלל $= \frac{50\cdot3+80\cdot2}{3+2} = \frac{310}{5} = 62$.
20. $9$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 10 - 1 = 9$.
21. $60$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 200\cdot \frac{3}{10} = 60$.
22. $\frac{11}{15}$ — מבין $30$ הבנים, $22$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{11}{15}$.
23. $\frac{3}{8}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{8-5}{8} = \frac{3}{8}$.
24. $\frac{3}{10}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{10-7}{10} = \frac{3}{10}$.
25. $\frac{2}{3}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
26. $3$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים בסדרת הנתונים. סופרים את מספר ההופעות של כל ערך: $1$ מופיע $2$ פעמים, $2$ מופיע פעם אחת, $3$ מופיע $3$ פעמים. הערך $3$ הוא הנפוץ ביותר, לכן השכיח הוא $3$.
27. $\frac{7}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{7}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{6}{9}$. המכפלה $\frac{7}{15}$.
28. $20\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{3}{15} \cdot 100\% = 20\%$.
29. $\frac{2}{5}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
30. $20$ — חצי מ-$40$ הוא $\frac{40}{2} = 20$ אנשים.