פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 16 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 16$ מטר.
2. 2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
3. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
4. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
5. $(2, -6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (2)^{2} + -4 \cdot (2) + -2 = -6$. הקודקוד: $(2, -6)$.
6. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
7. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
8. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
9. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
10. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
11. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
12. $(0, -2)$ — משווים: $1x + -2 = -2x + -2$. מכאן $3x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + -2 = -2$. נקודת החיתוך: $(0, -2)$.
13. $(0, 4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 2 \cdot 0 + -3 \cdot 0 + 4 = 4$. הנקודה: $(0, 4)$.
14. $y = 5x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -5}{0 - -2} = 5$. נציב נקודה: $b = -5 - (5)(-2) = 5$. המשוואה: $y = 5x + 5$.
15. 0 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 6}{-5 - 0} = 0 / -5 = 0$.
16. $x = -2$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot -2} = -2$.
17. $(-2, -9)$ — נציב $x = -2: y = 3 \cdot (-2) + -3 = -9$. לכן הנקודה $(-2, -9)$ נמצאת על הישר.
18. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
19. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
20. 2 — נציב $x = 1: f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$.
21. $x = 0 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 4x = 0$. פירוק לגורמים: $x(x - 4) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 4$.
22. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
23. $(0, 5)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -5 \cdot 0 + 5 = 5$. הנקודה: $(0, 5)$.
24. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
25. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
26. $(0, 9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 9 = 9$. הנקודה: $(0, 9)$.
27. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
28. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
29. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
30. $(0, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -4 \cdot 0 + 0 = 0$. הנקודה היא $(0, 0)$.
31. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
32. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
33. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
34. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
35. $y = 2x - 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 2$ ואת הנקודה: $-2 = 2 \cdot (1) + b$, ומכאן $b = -4$. לכן המשוואה: $y = 2x - 4$.