פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = -x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - -4} = -1$. נציב נקודה: $b = 5 - (-1)(-4) = 1$. המשוואה: $y = -x + 1$.
2. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
3. $(3, 8)$ — משווים: $3x + -1 = 1x + 5$. מכאן $2x = 6$, אז $x = 3$. נציב: $y = 3 \cdot (3) + -1 = 8$. נקודת החיתוך: $(3, 8)$.
4. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
5. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
6. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
7. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
8. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
9. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
10. $x = -3$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
11. $(0, -5)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot 0 + -5 = -5$. הנקודה היא $(0, -5)$.
12. $(-3, -6)$ — משווים: $1x + -3 = 2x + 0$. מכאן $-1x = 3$, אז $x = -3$. נציב: $y = 1 \cdot (-3) + -3 = -6$. נקודת החיתוך: $(-3, -6)$.
13. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
14. $(0, -1)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -1 = -1$. הנקודה היא $(0, -1)$.
15. x > 3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 3$. השיפוע 2 חיובי, ולכן הפונקציה עולה וחיובית מימין לנקודת האפס. תחום החיוביות: x > 3.
16. 0 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + -3 = 1 + 2 + -3 = 0$.
17. שיפוע −3, חיתוך עם y ב-2 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -3$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = 2$.
18. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
19. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -2)(x - 1) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
20. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
21. $x = -3$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = -3$.
22. שיפוע −2, חיתוך עם y ב-−8 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -8$.
23. 5 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-4 - 1}{-2 - -1} = -5 / -1 = 5$.
24. $(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
25. $(-3, -10)$ — נציב $x = -3: y = 2 \cdot (-3) + -4 = -10$. לכן הנקודה $(-3, -10)$ נמצאת על הישר.
26. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
27. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
28. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
29. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−5 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -5$.
30. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
31. $y = -6x + 11$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = -6$. נציב נקודה: $b = 5 - (-6)(1) = 11$. המשוואה: $y = -6x + 11$.
32. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
33. −2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - -1}{1 - 4} = 6 / -3 = -2$.
34. 0 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 6}{-5 - 0} = 0 / -5 = 0$.
35. $(2, -6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (2)^{2} + -4 \cdot (2) + -2 = -6$. הקודקוד: $(2, -6)$.