פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
2. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
3. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
4. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + 0 = 1 + 3 + 0 = 4$.
5. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
6. $(-3, -6)$ — משווים: $1x + -3 = 2x + 0$. מכאן $-1x = 3$, אז $x = -3$. נציב: $y = 1 \cdot (-3) + -3 = -6$. נקודת החיתוך: $(-3, -6)$.
7. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
8. $x = -1 , x = 3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x - 3 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 3)(x - -1) = 0$, ומכאן $x = -1$ או $x = 3$.
9. $(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
10. $(2, 2)$ — משווים: $1x + 0 = -1x + 4$. מכאן $2x = 4$, אז $x = 2$. נציב: $y = 1 \cdot (2) + 0 = 2$. נקודת החיתוך: $(2, 2)$.
11. 4 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 4, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 4.
12. $x = 5$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
13. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
14. $y = -x + 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $5 = -1 \cdot (-1) + b$, ומכאן $b = 4$. לכן המשוואה: $y = -x + 4$.
15. $(-3, -10)$ — נציב $x = -3: y = 2 \cdot (-3) + -4 = -10$. לכן הנקודה $(-3, -10)$ נמצאת על הישר.
16. $(0, -5)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot 0 + -5 = -5$. הנקודה היא $(0, -5)$.
17. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
18. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
19. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
20. $y = -x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - -4} = -1$. נציב נקודה: $b = 5 - (-1)(-4) = 1$. המשוואה: $y = -x + 1$.
21. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
22. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
23. $(-4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 12$, ומכאן $x = -4$. הנקודה היא $(-4, 0)$.
24. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
25. $(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
26. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
27. $(0, -2)$ — משווים: $1x + -2 = -2x + -2$. מכאן $3x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + -2 = -2$. נקודת החיתוך: $(0, -2)$.
28. $y = -4x - 16$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -4$ ואת הנקודה: $0 = -4 \cdot (-4) + b$, ומכאן $b = -16$. לכן המשוואה: $y = -4x - 16$.
29. 1 — נציב $x = 0: f(0) = 2 \cdot (0)^{2} + 1 \cdot (0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
30. $(0, -4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + -4 = -4$. הנקודה: $(0, -4)$.
31. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
32. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.
33. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
34. 3 יחידות, רווח 16 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 16$ ש"ח.
35. −6 — נציב $x = -2: f(-2) = -2 \cdot (-2)^{2} + 1 \cdot (-2) + 4 = -8 + -2 + 4 = -6$.