פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
2. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
3. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
4. $x = -5 , x = -3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 8x + 15 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -5)(x - -3) = 0$, ומכאן $x = -5$ או $x = -3$.
5. x < 1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 1$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 1.
6. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
7. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
8. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
9. $y = -2x - 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -1$. לכן המשוואה: $y = -2x - 1$.
10. $(0, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -2} = 0$. נציב למציאת $y: y = -2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 0 = 0$. הקודקוד: $(0, 0)$.
11. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
12. $x = -1 , x = 3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x - 3 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 3)(x - -1) = 0$, ומכאן $x = -1$ או $x = 3$.
13. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
14. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
15. 2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 2.
16. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
17. $(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
18. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
19. $x = 5$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
20. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
21. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
22. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
23. x < −4 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -4$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −4.
24. $(2, -6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (2)^{2} + -4 \cdot (2) + -2 = -6$. הקודקוד: $(2, -6)$.
25. $(1, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (1)^{2} + -2 \cdot (1) + 3 = 2$. הקודקוד: $(1, 2)$.
26. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
27. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
28. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -2)(x - 1) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
29. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
30. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
31. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
32. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
33. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
34. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
35. $(-2, -9)$ — נציב $x = -2: y = 3 \cdot (-2) + -3 = -9$. לכן הנקודה $(-2, -9)$ נמצאת על הישר.