אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
2. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
3. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
4. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
5. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
6. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
7. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
8. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
9. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
10. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
11. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
12. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
13. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
14. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
15. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
16. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
17. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
18. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
19. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
20. $x = -5$ או $x = 1$ — $a=1, b=4, c=-5$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-5) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{-4 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = 1$.
21. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
22. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
23. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
24. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
25. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
26. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
27. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
28. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
29. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.
30. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
31. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
32. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
33. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
34. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
35. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.