אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
2. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
3. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
4. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
5. $x = -5$ או $x = 1$ — $a=1, b=4, c=-5$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-5) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{-4 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = 1$.
6. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
7. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
8. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
9. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
10. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
11. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
12. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
13. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
14. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
15. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
16. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
17. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
18. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
19. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
20. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
21. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
22. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
23. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
24. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
25. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
26. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
27. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
28. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
29. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
30. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
31. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
32. $x = 5, y = 3$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 5, y = 3$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (2) \cdot 3 = 11$, וכן $2 \cdot 5 + (1) \cdot 3 = 13$.
33. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
34. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
35. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.