אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
2. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
3. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
4. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
5. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
6. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
7. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
8. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
9. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
10. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
11. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
12. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
13. x < -3 — מחלקים ב-(-2) והופכים את הסימן: x < -3.
14. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
15. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
16. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
17. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
18. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
19. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
20. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
21. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
22. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
23. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 4 + (2) \cdot 4 = 16$, וכן $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 8$.
24. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
25. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
26. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
27. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
28. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
29. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
30. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
31. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
32. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
33. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
34. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
35. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.