דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 40 שאלות

חזרה למבחן — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 40
  1. 1.מספר דו-ספרתי: ספרת היחידות גדולה מספרת העשרות ב-3. אם הופכים את הסדר, המספר החדש גדול מהמקורי ב-27. מה המספר המקורי?
    (א)47
    (ב)36
    (ג)14
    (ד)25
  2. 2.כסף מושקע בריבית דריבית שנתית 6%. לאחר כמה שנים יגדל פי 1.5? (log₁.₀₆1.5 ≈ 6.9)
    (א)כ-10 שנה
    (ב)כ-15 שנה
    (ג)כ-7 שנה
    (ד)כ-5 שנה
  3. 3.ירח מקיף כוכב לכת. לפי חוק קפלר השלישי: T² ∝ r³, כאשר T מחזור ו-r מרחק. אם ירח אחד במרחק r₁ = 4 ומחזורו T₁ = 8, מה מחזור ירח שני במרחק r₂ = 9?
    (א)18
    (ב)27
    (ג)36
    (ד)12
  4. 4.עבור אילו ערכי k למשוואה x² + (k−1)x + k = 0 אין שורשים ממשיים?
    (א)k < 0
    (ב)1/3 < k < 3 — לא נכון. התשובה הנכונה: k > 3 או k < 1/3. נבדוק: Δ = (k−1)² − 4k = k² − 6k + 1. Δ < 0 כש- k² − 6k + 1 < 0, שורשים: 3±2√2. לכן 3−2√2 < k < 3+2√2
    (ג)3 − 2√2 < k < 3 + 2√2
    (ד)k > 3 + 2√2 או k < 3 − 2√2
  5. 5.פרקו לגורמים: 12x² − 17x + 6
    (א)(3x − 2)(4x − 3)
    (ב)(12x − 1)(x − 6)
    (ג)(4x − 3)(3x − 2)
    (ד)(6x − 2)(2x − 3)
  6. 6.פתרו: 3x − y + 2z = 8, x + 2y − z = 3, 2x + y + 3z = 13
    (א)x = 2, y = 1, z = 2
    (ב)x = 2, y = 2, z = 1
    (ג)x = 3, y = 0, z = 1
    (ד)x = 1, y = 2, z = 3
  7. 7.מצאו את נקודות החיתוך של y = x² − 3x ו-y = −x² + 5
    xy-6-5-4-3-2-1123456-21-19-17-15-13-11-9-7-5-3-113579111315171921232527293133353739410
    y = x² − 3xy = −x² + 5
    (א)אין חיתוך
    (ב)(−1, 4) ו-(5/2, −5/2) — לא. x²−3x = −x²+5 → 2x²−3x−5=0. Δ=25+40=65... (2x−5)(x+1)=0. x=5/2 ו-x=−1
    (ג)x = −1 ו-x = 5/2
    (ד)(−1, 4) ו-(2.5, −1.25)
  8. 8.הוכחה בגיאומטריה: במשולש ABC, M נקודת אמצע AB ו-N נקודת אמצע AC. הוכיחו ש-MN ∥ BC. מהו הצעד הראשון?
    (א)נוכיח שהמשולש שווה שוקיים
    (ב)נחשב את אורך MN
    (ג)נשתמש במשפט הסינוס
    (ד)נסמן AM/AB = AN/AC = 1/2
  9. 9.שורשי x² + px + q = 0 הם x₁, x₂. כתבו ביטוי ל-x₁² + x₂²
    (א)p² + 2q
    (ב)p² − 2q
    (ג)p² − q
    (ד)(p+q)²
  10. 10.מרפאה בודקת מחלה. 5% מהחולים בריאים לכאורה (שלילי כוזב). 3% מהבריאים מאובחנים חולים (חיובי שווא). ב-10% שכיחות מחלה. מה P(חולה|בדיקה חיובית)?
    (א)≈ 97%
    (ב)≈ 63.5%
    (ג)≈ 30%
    (ד)≈ 10%
  11. 11.חיצר ריבועית y = 2x² − 8x + 6. כתבו בצורת קודקוד ומצאו את הקודקוד.
    xy-6-5-4-3-2-1123456-3-11357911131517192123252729313335373941434547495153555759616365676971737577798183858789919395970
    y = 2x² − 8x + 6
    (א)y = 2(x+2)² − 2, קודקוד (−2,−2)
    (ב)y = 2(x−2)² + 6, קודקוד (2,6)
    (ג)y = 2(x−2)² − 2, קודקוד (2,−2)
    (ד)y = (x−2)² − 2, קודקוד (2,−2)
  12. 12.גינה מלבנית גובלת בגדר מחד וצריכה 3 גדרות לשאר. סך גדר: 120 מ׳. מה הממדים למקסימום שטח?
    (א)30 × 40
    (ב)25 × 50
    (ג)15 × 90
    (ד)20 × 60
  13. 13.P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). אם P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2, מהו P(A∪B)?
    (א)0.7
    (ב)0.3
    (ג)0.9
    (ד)1.1
  14. 14.הוכחה: בעיגול, זווית מרכזית = פי שתיים מהזווית ההיקפית הנשענת על אותו קשת. זהו:
    (א)משפט תאלס
    (ב)משפט הסינוס
    (ג)משפט פיתגורס
    (ד)משפט הזווית המרכזית וההיקפית
  15. 15.נתון: sin(α) = 3/5, α זווית חדה. מהו cos(α)?
    (א)√(1−9/25)=4/5
    (ב)3/4
    (ג)5/3
    (ד)4/5
  16. 16.אם x₁, x₂ שורשי x² − 5x + 3 = 0, מהו x₁³ + x₂³?
    (א)90
    (ב)80
    (ג)35
    (ד)125
  17. 17.פתרו: x + y + z = 6, 2x − y + 3z = 14, 3x + 2y − z = 2
    (א)x = 2, y = 1, z = 3
    (ב)x = 0, y = 3, z = 3
    (ג)x = 1, y = 2, z = 3
    (ד)x = 3, y = 1, z = 2
  18. 18.כמה נקודות חיתוך יש ל-y = x² + 2x + 2 ו-y = x + 1?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-5-3-11357911131517192123252729313335370
    y = x + 1y = x² + 2x + 2
    (א)2
    (ב)0
    (ג)אין מספיק מידע
    (ד)1
  19. 19.בגינה מלבנית, יש לגדר 3 צלעות (צלע 4 היא קיר). אם יש 80 מ׳ גדר ורוחב הגינה x, מה x לשטח מרבי?
    (א)x = 20
    (ב)x = 40
    (ג)x = 10
    (ד)x = 80/3
  20. 20.במשחק קלפים: שולפים קלף מחפיסה. ידוע שהקלף אדום (26 קלפים). מה ההסתברות שהוא גם A?
    (א)2/52
    (ב)2/13
    (ג)1/26
    (ד)1/13
  21. 21.הוכחה: בצלע מקבילה: ∠A + ∠B = 180°. הסבירו מדוע.
    (א)כי המקבילית שווה שוקיים
    (ב)כי AD = BC
    (ג)כי כל זוויות המקבילית שוות
    (ד)כי AB ∥ CD וBC חותכת, לכן זוויות חד-צדדיות משלימות
  22. 22.עם נוסחת וייטה: x₁, x₂ שורשי 2x² + 5x − 3 = 0. מהו 1/x₁ + 1/x₂?
    (א)−5/3
    (ב)5/3
    (ג)5/2
    (ד)−3/2
  23. 23.פרקו: 15x² + 7x − 2
    (א)(3x + 2)(5x − 1)
    (ב)(5x − 1)(3x + 2)
    (ג)(15x − 1)(x + 2)
    (ד)(3x − 1)(5x + 2)
  24. 24.בייז: מפעל מייצר 60% ממכונה A ו-40% ממכונה B. שיעור פגמים: A=2%, B=5%. מצאו P(מכונה A | פגום)
    (א)≈ 60%
    (ב)≈ 2%
    (ג)≈ 50%
    (ד)≈ 37.5%
  25. 25.שני מגדלים גובהם 30 מ׳ ו-50 מ׳. ביניהם מרחק 40 מ׳. מה אורך החוט ממרכז גג אחד לתחתית השני? (פיתגורס)
    (א)√3200 ≈ 56.6 מ׳
    (ב)40√2 מ׳
    (ג)70 מ׳
    (ד)50 מ׳
  26. 26.x² − (k+2)x + 2k = 0. מצאו k שיגרום לשני שורשים חיוביים שסכומם 6.
    (א)k = 2
    (ב)k = 3
    (ג)k = 4
    (ד)k = 6
  27. 27.הוכחה: הוכיחו שבמשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC), הזוויות בבסיס שוות (∠B = ∠C). מה הצעד המרכזי?
    (א)בניית תיכון מ-A ל-BC ושימוש בקריטריון צ.צ.צ
    (ב)חישוב אורכי הצלעות
    (ג)שימוש במשפט פיתגורס
    (ד)שימוש בנוסחת הסינוס
  28. 28.פתרו: x + y − z = 2, 2x − y + 2z = 9, 3x + 2y − 3z = 1
    (א)x = 4, y = −2, z = 0
    (ב)x = 3, y = −1, z = 0
    (ג)x = 1, y = 3, z = 2
    (ד)x = 2, y = 1, z = 1
  29. 29.אם x₁, x₂ שורשי x² − 3x + 1 = 0, מהו x₁² + x₂² − x₁·x₂?
    (א)7
    (ב)5
    (ג)9
    (ד)6
  30. 30.חברת אבטחה מתקינה מצלמות. 70% מהפריצות קורות בלילה. מצלמה לילית מגלה פריצה ב-90%, יומית ב-70%. פריצה זוהתה. מה ההסתברות שהייתה בלילה?
    (א)≈ 75%
    (ב)≈ 90%
    (ג)≈ 81%
    (ד)≈ 70%
  31. 31.רוצים לחצות נהר ברוחב 80 מ׳. הסירה מכוונת ניצב לגדה במהירות 3 מ/ש, הזרם 4 מ/ש. מה מרחק הסחף בגדה השנייה?
    (א)≈ 107 מ׳
    (ב)80 מ׳
    (ג)≈ 133 מ׳
    (ד)≈ 60 מ׳
  32. 32.פרקו לגורמים: 20x² − 3x − 9
    (א)(20x + 9)(x − 1)
    (ב)(4x + 3)(5x − 3)
    (ג)(4x − 3)(5x + 3)
    (ד)(5x + 3)(4x − 3)
  33. 33.בחירה משני ספקים: A מספק ב-60% מהמקרים, B ב-40%. איכות טובה: A=85%, B=75%. מוצר נבחר אקראית ונמצא פגום. מה P(מ-B)?
    (א)≈ 40%
    (ב)≈ 25%
    (ג)≈ 43.5%
    (ד)≈ 60%
  34. 34.מצאו את ערכי m כך ש-x² + mx + 9 > 0 לכל x ממשי.
    (א)m > 0
    (ב)m > 6 או m < −6
    (ג)m = ±6
    (ד)−6 < m < 6
  35. 35.הוכחה באינדוקציה: שלב המעבר להוכחת 1 + 2 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2. אם מניחים 1+...+k = k(k+1)/2, מה מוסיפים?
    (א)k(k+1)/2
    (ב)(k+2)
    (ג)(k+1)
    (ד)k
  36. 36.השקולה הלוגית של ¬(P → Q) היא:
    (א)¬P ∨ ¬Q
    (ב)P ∧ ¬Q
    (ג)P ∨ ¬Q
    (ד)¬P ∧ Q
  37. 37.נתון: P → Q ו-Q → R. מה ניתן להסיק? (syllogism)
    (א)R → P
    (ב)Q ↔ P
    (ג)P → R
    (ד)P ∧ R
  38. 38.שלוש קבוצות: |A| = 30, |B| = 25, |C| = 20, |A ∩ B| = 8, |A ∩ C| = 6, |B ∩ C| = 5, |A ∩ B ∩ C| = 3. |A ∪ B ∪ C| = ?
    (א)59
    (ב)68
    (ג)55
    (ד)62
  39. 39.מה ערך האמת של (P ∨ ¬P) ∧ (Q ∨ ¬Q)?
    (א)תלוי ב-P וב-Q
    (ב)תמיד שקר
    (ג)תמיד אמת
    (ד)לפעמים אמת
  40. 40.חידה לוגית קשה: שלושה חברים — X, Y, Z. כל אחד אומר: X: 'Y שקרן'. Y: 'Z ישר'. Z: 'X ישר'. אם X ישר, מי ישר ומי שקרן?
    (א)X ישר, Y ישר, Z ישר
    (ב)X ישר, Y ישר, Z שקרן
    (ג)כולם שקרנים
    (ד)X ישר, Y שקרן, Z ישר
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il