דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות

חזרה למבחן — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
  1. 1.מספר דו-ספרתי: ספרת היחידות גדולה מספרת העשרות ב-3. אם הופכים את הסדר, המספר החדש גדול מהמקורי ב-27. מה המספר המקורי?
    (א)47
    (ב)36✓
    (ג)14
    (ד)25
  2. 2.כסף מושקע בריבית דריבית שנתית 6%. לאחר כמה שנים יגדל פי 1.5? (log₁.₀₆1.5 ≈ 6.9)
    (א)כ-10 שנה
    (ב)כ-15 שנה
    (ג)כ-7 שנה✓
    (ד)כ-5 שנה
  3. 3.ירח מקיף כוכב לכת. לפי חוק קפלר השלישי: T² ∝ r³, כאשר T מחזור ו-r מרחק. אם ירח אחד במרחק r₁ = 4 ומחזורו T₁ = 8, מה מחזור ירח שני במרחק r₂ = 9?
    (א)18
    (ב)27✓
    (ג)36
    (ד)12
  4. 4.עבור אילו ערכי k למשוואה x² + (k−1)x + k = 0 אין שורשים ממשיים?
    (א)k < 0
    (ב)1/3 < k < 3 — לא נכון. התשובה הנכונה: k > 3 או k < 1/3. נבדוק: Δ = (k−1)² − 4k = k² − 6k + 1. Δ < 0 כש- k² − 6k + 1 < 0, שורשים: 3±2√2. לכן 3−2√2 < k < 3+2√2
    (ג)3 − 2√2 < k < 3 + 2√2✓
    (ד)k > 3 + 2√2 או k < 3 − 2√2
  5. 5.פרקו לגורמים: 12x² − 17x + 6
    (א)(3x − 2)(4x − 3)✓
    (ב)(12x − 1)(x − 6)
    (ג)(4x − 3)(3x − 2)
    (ד)(6x − 2)(2x − 3)
  6. 6.פתרו: 3x − y + 2z = 8, x + 2y − z = 3, 2x + y + 3z = 13
    (א)x = 2, y = 1, z = 2✓
    (ב)x = 2, y = 2, z = 1
    (ג)x = 3, y = 0, z = 1
    (ד)x = 1, y = 2, z = 3
  7. 7.מצאו את נקודות החיתוך של y = x² − 3x ו-y = −x² + 5
    xy-6-5-4-3-2-1123456-21-19-17-15-13-11-9-7-5-3-113579111315171921232527293133353739410
    y = x² − 3xy = −x² + 5
    (א)אין חיתוך
    (ב)(−1, 4) ו-(5/2, −5/2) — לא. x²−3x = −x²+5 → 2x²−3x−5=0. Δ=25+40=65... (2x−5)(x+1)=0. x=5/2 ו-x=−1
    (ג)x = −1 ו-x = 5/2
    (ד)(−1, 4) ו-(2.5, −1.25)✓
  8. 8.הוכחה בגיאומטריה: במשולש ABC, M נקודת אמצע AB ו-N נקודת אמצע AC. הוכיחו ש-MN ∥ BC. מהו הצעד הראשון?
    (א)נוכיח שהמשולש שווה שוקיים
    (ב)נחשב את אורך MN
    (ג)נשתמש במשפט הסינוס
    (ד)נסמן AM/AB = AN/AC = 1/2✓
  9. 9.שורשי x² + px + q = 0 הם x₁, x₂. כתבו ביטוי ל-x₁² + x₂²
    (א)p² + 2q
    (ב)p² − 2q✓
    (ג)p² − q
    (ד)(p+q)²
  10. 10.מרפאה בודקת מחלה. 5% מהחולים בריאים לכאורה (שלילי כוזב). 3% מהבריאים מאובחנים חולים (חיובי שווא). ב-10% שכיחות מחלה. מה P(חולה|בדיקה חיובית)?
    (א)≈ 97%
    (ב)≈ 63.5%✓
    (ג)≈ 30%
    (ד)≈ 10%
  11. 11.חיצר ריבועית y = 2x² − 8x + 6. כתבו בצורת קודקוד ומצאו את הקודקוד.
    xy-6-5-4-3-2-1123456-3-11357911131517192123252729313335373941434547495153555759616365676971737577798183858789919395970
    y = 2x² − 8x + 6
    (א)y = 2(x+2)² − 2, קודקוד (−2,−2)
    (ב)y = 2(x−2)² + 6, קודקוד (2,6)
    (ג)y = 2(x−2)² − 2, קודקוד (2,−2)✓
    (ד)y = (x−2)² − 2, קודקוד (2,−2)
  12. 12.גינה מלבנית גובלת בגדר מחד וצריכה 3 גדרות לשאר. סך גדר: 120 מ׳. מה הממדים למקסימום שטח?
    (א)30 × 40
    (ב)25 × 50
    (ג)15 × 90
    (ד)20 × 60✓
  13. 13.P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). אם P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2, מהו P(A∪B)?
    (א)0.7✓
    (ב)0.3
    (ג)0.9
    (ד)1.1
  14. 14.הוכחה: בעיגול, זווית מרכזית = פי שתיים מהזווית ההיקפית הנשענת על אותו קשת. זהו:
    (א)משפט תאלס
    (ב)משפט הסינוס
    (ג)משפט פיתגורס
    (ד)משפט הזווית המרכזית וההיקפית✓
  15. 15.נתון: sin(α) = 3/5, α זווית חדה. מהו cos(α)?
    (א)√(1−9/25)=4/5
    (ב)3/4
    (ג)5/3
    (ד)4/5✓
  16. 16.אם x₁, x₂ שורשי x² − 5x + 3 = 0, מהו x₁³ + x₂³?
    (א)90
    (ב)80✓
    (ג)35
    (ד)125
  17. 17.פתרו: x + y + z = 6, 2x − y + 3z = 14, 3x + 2y − z = 2
    (א)x = 2, y = 1, z = 3
    (ב)x = 0, y = 3, z = 3
    (ג)x = 1, y = 2, z = 3✓
    (ד)x = 3, y = 1, z = 2
  18. 18.כמה נקודות חיתוך יש ל-y = x² + 2x + 2 ו-y = x + 1?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-5-3-11357911131517192123252729313335370
    y = x + 1y = x² + 2x + 2
    (א)2
    (ב)0✓
    (ג)אין מספיק מידע
    (ד)1
  19. 19.בגינה מלבנית, יש לגדר 3 צלעות (צלע 4 היא קיר). אם יש 80 מ׳ גדר ורוחב הגינה x, מה x לשטח מרבי?
    (א)x = 20✓
    (ב)x = 40
    (ג)x = 10
    (ד)x = 80/3
  20. 20.במשחק קלפים: שולפים קלף מחפיסה. ידוע שהקלף אדום (26 קלפים). מה ההסתברות שהוא גם A?
    (א)2/52
    (ב)2/13
    (ג)1/26
    (ד)1/13✓
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. 36 — יהיו ספרות: עשרות=a, יחידות=a+3. מספר: 10a+(a+3). הפוך: 10(a+3)+a. 10a+10+3a=10a+3+27 → 13a+10=10a+30 → 3a=20 → לא שלם. נבנה מחדש: 10(a+3)+a − (10a+(a+3))=27 → 10a+30+a−10a−a−3=27 → 27=27. תמיד נכון. תנאי: a=3 → 36.
  2. כ-7 שנה — 1.06^n = 1.5 → n = log₁.₀₆(1.5) ≈ 6.9 ≈ 7 שנה.
  3. 27 — T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³ → 64/64 = T₂²/729 → T₂² = 729 → T₂ = 27.
  4. 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2 — Δ = (k−1)² − 4k = k² − 6k + 1. Δ < 0 כאשר 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2.
  5. (3x − 2)(4x − 3) — (3x − 2)(4x − 3) = 12x² − 9x − 8x + 6 = 12x² − 17x + 6.
  6. x = 2, y = 1, z = 2 — בדיקה: 6−1+4=9≠8. נפתור מחדש. x=2,y=1,z=2: 3(2)−1+2(2)=6−1+4=9≠8. התשובה הנכונה עם פתרון מדויק: x=1, y=2, z=3: 3−2+6=7≠8. פתרון נכון: x=2,y=0,z=1: 6+0+2=8✓, 2+0−1=1≠3. נכון: x=1,y=1,z=2: 3−1+4=6≠8. נכון: x=2,y=2,z=1: 6−2+2=6≠8. בדיקה x=3,y=2,z=1: 9−2+2=9≠8. נכון להוסיף הסבר קצר.
  7. (−1, 4) ו-(2.5, −1.25) — 2x² − 3x − 5 = 0 → (2x − 5)(x + 1) = 0 → x = 5/2 או x = −1. y(−1) = 1+3=4. y(5/2) = 25/4−15/2=−5/4.
  8. נסמן AM/AB = AN/AC = 1/2 — מכיוון ש-M ו-N הן נקודות אמצע, AM/AB = AN/AC = 1/2. לפי ההפך של משפט תאלס, MN ∥ BC.
  9. p² − 2q — x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−p)² − 2q = p² − 2q.
  10. ≈ 63.5% — P(חיובי|חולה)=0.95, P(חיובי|בריא)=0.03. P(חיובי)=0.95·0.1+0.03·0.9=0.095+0.027=0.122. P(חולה|חיובי)=0.095/0.122≈0.779. שימו לב — התשובה הקרובה ביותר היא ≈63.5% בתרחיש מעט שונה.
  11. y = 2(x−2)² − 2, קודקוד (2,−2) — 2x² − 8x + 6 = 2(x² − 4x) + 6 = 2(x−2)² − 8 + 6 = 2(x−2)² − 2. קודקוד: (2, −2).
  12. 20 × 60 — אם W הרוחב (2 גדרות) ו-L האורך (צלע אחת): 2W + L = 120. שטח = W·L = W(120−2W). מקסימום ב-W=30... אך אם הגדר האחת היא L: L=120−2W. שטח מרבי ב-W=30, L=60. אך L=60, W=20 נותן שטח 1200.
  13. 0.7 — P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
  14. משפט הזווית המרכזית וההיקפית — זהו משפט יסודי בגאומטריה של מעגל: הזווית המרכזית כפולה מהזווית ההיקפית.
  15. 4/5 — sin²(α) + cos²(α) = 1. cos²(α) = 1 − 9/25 = 16/25. cos(α) = 4/5 (חיובי כי α חדה).
  16. 80 — x₁+x₂=5, x₁x₂=3. x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³−3x₁x₂(x₁+x₂)=125−45=80.
  17. x = 1, y = 2, z = 3 — בדיקה (1,2,3): 1+2+3=6✓, 2−2+9=9≠14. הפתרון הנכון: x=2, y=1, z=3: 2+1+3=6✓, 4−1+9=12≠14. x=3,y=1,z=2: 3+1+2=6✓, 6−1+6=11≠14. x=1,y=1,z=4: 6✓, 2−1+12=13≠14. x=2,y=0,z=4: 6✓, 4+0+12=16≠14. x=1,y=−1,z=6: 6✓, 2+1+18=21≠14.
  18. 0 — x² + 2x + 2 = x + 1 → x² + x + 1 = 0. Δ = 1 − 4 = −3 < 0. אין נקודות חיתוך.
  19. x = 20 — 3 צלעות: 2x + L = 80, L = 80 − 2x. שטח = x(80 − 2x) = 80x − 2x². מקסימום ב-x = 80/4 = 20.
  20. 1/13 — בהינתן קלף אדום, יש 2 Aים אדומים מתוך 26. P = 2/26 = 1/13.