פונקציות — כיתה ט׳

פתרונות

1. 0 — f(x) = (x−2)². מינימום ב-x=2: f(2) = 0.
2. (3, 1) — y = (x−3)² + 1. נקודת מינימום ב-(3, 1).
3. 3 — בצורה y = mx + n, המקדם של x הוא השיפוע m = 3.
4. יורד משמאל לימין — שיפוע שלילי מורה שככל שx גדל, y קטן — הגרף יורד.
5. (0, 8) — חיתוך עם ציר y: x = 0, ולכן y = 8. הנקודה (0, 8).
6. 16 — y = (−4)² = 16. ריבוע של מספר שלילי תמיד חיובי.
7. (3, −4) — x קודקוד = −b/2a = 6/2 = 3. y = 9 − 18 + 5 = −4. הנקודה (3, −4).
8. x ≥ 3 — בשורש יש דרישה שהביטוי תחת השורש לא יהיה שלילי: x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3.
9. x = ±2 — x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2.
10. x < 3 — −2x + 6 > 0 → −2x > −6 → x < 3.
11. (2, 3) — x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2. y = 3. הנקודה (2, 3).
12. 3 — 12 = a · 4 → a = 3.
13. y ≤ 4 — y = −x² + 4. מכיוון ש־−x² ≤ 0 תמיד, y ≤ 4 עם מקסימום ב־x = 0.
14. −2 — שיפוע = (−5 − 3)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
15. 0 — הקודקוד של y = x² הוא הנקודה (0, 0), ולכן קואורדינטת y היא 0.
16. x = 0 — הפרבולה y = x² סימטרית ביחס לציר y, שמשוואתו x = 0.
17. מטה — כאשר המקדם של x² שלילי (כאן a = −3 < 0), הפרבולה נפתחת כלפי מטה.
18. −4 — ציר y: x = 0. y = 0² − 4 = −4.
19. (2, 0) — בצורה y = (x − h)², הקודקוד הוא (h, 0). כאן h = 2, לכן הקודקוד (2, 0).
20. x = −3 — בצורה y = (x − h)², ציר הסימטריה הוא x = h. כאן y = (x − (−3))², ולכן x = −3.
21. 3 — y = 6/2 = 3.
22. x = 0 ו־y = 0 — לפונקציה y = a/x יש תמיד אסימפטוטות x = 0 (ציר y) ו־y = 0 (ציר x).
23. x כש־x ≥ 0, ו־−x כש־x < 0 — ערך מוחלט: |x| = x כש־x ≥ 0, ו־|x| = −x כש־x < 0.
24. 7 — |−7| = 7 כי ערך מוחלט מחזיר את הגודל ללא סימן.
25. 1 — הקודקוד הוא (0, 1) ולכן y מינימלי = 1 (הפרבולה נפתחת מעלה).
26. רביעים ראשון ושלישי — כש־a > 0, הגרף y = a/x נמצא ברביע ראשון (x > 0, y > 0) ושלישי (x < 0, y < 0).
27. x = 3 — y = x² − 6x + 9 = (x − 3)². ציר הסימטריה: x = 3.
28. שני ורביעי — כש־a < 0 (כאן a = −4), הגרף y = a/x נמצא ברביע שני (x < 0, y > 0) ורביעי (x > 0, y < 0).
29. 1 — y = x² חותכת את ציר ה־x בנקודה אחת: (0, 0) (הקודקוד עצמו נגע בציר).
30. 3 — פונקציית הרצפה ⌊x⌋ מחזירה את המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על x. ⌊3.7⌋ = 3.
31. −3 — ⌊−2.3⌋ = −3 כי המספר השלם הגדול שאינו עולה על −2.3 הוא −3 (לא −2!).
32. x = 2 — ציר הסימטריה: x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1) = 4/2 = 2.
33. (2, −1) — ציר סימטריה: x = 2. y(2) = 4 − 8 + 3 = −1. הקודקוד (2, −1).
34. (1, 0) ו־(3, 0) — x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 או x = 3.
35. x < 1 או x > 3 — הפרבולה נפתחת מעלה וחותכת ב־x = 1 ו־x = 3. היא חיובית מחוץ לשורשים: x < 1 או x > 3.
36. 1 < x < 3 — הפרבולה שלילית בין השורשים: 1 < x < 3.
37. 3 — 4 = 12/x → x = 12/4 = 3.
38. 12 — 4 = a/3 → a = 12.
39. (0, −9) — x = 0: y = 0 − 9 = −9. הנקודה (0, −9).
40. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 או x = 3.