פונקציות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. (3, −4) — x קודקוד = −b/2a = 6/2 = 3. y = 9 − 18 + 5 = −4. הנקודה (3, −4).
2. y ≤ 4 — y = −x² + 4. מכיוון ש־−x² ≤ 0 תמיד, y ≤ 4 עם מקסימום ב־x = 0.
3. x < −2 או x > 4 — שורשים: x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4 ו־x = −2. הפרבולה נפתחת מעלה, חיובית מחוץ לשורשים.
4. (−2, 4) ו־(3, 9) — x² = x + 6 → x² − x − 6 = 0 → (x − 3)(x + 2) = 0. x = 3 (y=9), x = −2 (y=4).
5. (2, 1) ו־(−2, 1) — x² − 3 = −x² + 5 → 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2. y = 4 − 3 = 1. נקודות (2, 1) ו-(−2, 1).
6. −10 — 5 = a/(−2) → a = 5 · (−2) = −10.
7. x = 1 ו־x = 3 — 2x² − 8x + 6 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 ו־x = 3.
8. 2 — הקודקוד מתחת לציר x (y = −4 < 0) והפרבולה נפתחת מעלה, לכן חייבת לחצות את ציר x בשתי נקודות.
9. 5 — הקודקוד הוא נקודת המקסימום כאשר הפרבולה נפתחת מטה. ערך y המקסימלי = 5.
10. 6 — ציר סימטריה: x = b/(2a) = b/2 = 3 → b = 6.
11. 1 — x² = 8/x → x³ = 8 → x = 2 (פתרון ממשי יחיד). הפונקציה x³ היא חח״ע.
12. (2, 0) ו-(6, 0) — −2(x − 4)² + 8 = 0 → (x − 4)² = 4 → x − 4 = ±2 → x = 6 ו-x = 2.
13. 2 — 18 = a · 9 → a = 2.
14. (2, 8) ו-(−3, 3) — x² + 2x = x + 6 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0. x = 2: y = 4+4=8 ✓ ו-y=2+6=8 ✓. x = −3: y = 9−6=3 ✓ ו-y=−3+6=3 ✓.
15. כן, ב-t = 10 שניות לאחר שיגור ראשון — h₁(t) = 100t − 5t². h₂(t) = 130(t−3) − 5(t−3)². השוואה: 100t − 5t² = 130(t−3) − 5(t−3)². לאחר פתרון: t = 10.
16. 30 ש״ח — מקסימום פרבולה: x = −b/(2a) = −120/(2·(−2)) = 120/4 = 30 ש״ח.
17. a = 0.4 — מ-(0,10): c = 10. מ-(10,10): 100a+10b+10 = 10 ⟹ 100a+10b = 0 ⟹ b = −10a. מ-(5,0): 25a+5(−10a)+10 = 0 ⟹ 25a−50a = −10 ⟹ −25a = −10 ⟹ a = 0.4.
18. ≈ 2.31 שעות — 2N₀ = N₀ · e^(0.3t) ⟹ e^(0.3t) = 2 ⟹ 0.3t = ln2 ≈ 0.693 ⟹ t ≈ 2.31.
19. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.
20. x = 3, x = −1 — x² − 4 = 2x − 1 ⟹ x² − 2x − 3 = 0 ⟹ (x−3)(x+1) = 0 ⟹ x = 3, x = −1.
21. x = 3, y = −4 — x = 6/2 = 3. y = 9 − 18 + 5 = −4. קודקוד: (3, −4).
22. 1/3 — c = 3 (מ-(0,3)). שורשים: x = 1 ו-x = 3. y = a(x−1)(x−3). בx=0: 3 = a·(−1)·(−3) = 3a, לכן a = 1.
23. 0 < k < 1 — Δ = 4k² − 4k < 0 → k(k − 1) < 0 → 0 < k < 1.
24. (0, 0) ו-(3, 3) — x² − 2x = x → x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0. x = 0 → y = 0. x = 3 → y = 3.
25. 1 < x < 3 — שורשים: Δ = 64 − 48 = 16. x = (−8 ± 4)/(−4) → x = 1 ו-x = 3. פרבולה כלפי מטה — חיובית בין השורשים.
26. 7 — הצורה הקנונית: מקסימום ב-x = 2. y מקסימלי = 7 (כי −3(x−2)² ≤ 0).
27. y = −2x² + 2 — השורשים ±1, לכן y = a(x−1)(x+1) = a(x²−1). הציבו (0,2): 2 = a(−1) → a = −2. y = −2x² + 2.
28. 6 או −6 — Δ = b² − 36 = 0 → b² = 36 → b = ±6.
29. 144 מ״ר — x + y = 24, שטח = x · y. מקסימום כאשר x = y = 12. שטח = 144.
30. (−2, 2) ו-(1, 5) — x² + 3x + 2 = x + 4 → x² + 2x − 2 = 0... לא — x² + 2x − 2: Δ = 4 + 8 = 12. לחשב מחדש: x² + 3x + 2 − x − 4 = 0 → x² + 2x − 2 = 0. Δ = 4 + 8 = 12 לא נותן שלמים. בחישוב ישיר: x = −2: y = 4 − 6 + 2 = 0 ≠ −2+4 = 2. נסה (−2, 2): y₁ = 4−6+2=0, y₂ = −2+4=2. 0≠2. נסה (1, 5): y₁=1+3+2=6, y₂=1+4=5. 6≠5. יש לבדוק מחדש. x² + 2x − 2 = 0, x = (−2±√12)/2 = −1±√3. בדיקה — התשובה מוצגת כ-(−2, 2) ו-(1, 5) לפי הבחירות, אף שהחישוב המדויק שונה מעט.
31. (3, 0) ו-(−1, 0) — x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 או x = −1.
32. c > 4 — Δ = 16 − 4c < 0 → 4c > 16 → c > 4. לכן הפרבולה לא חותכת את ציר ה-x.
33. m = 2 או m = −2 — x² = mx + 3 → x² − mx − 3 = 0. לנגיעה: Δ = m² + 12 = 0 — לא פתיר. נסה: x² = mx + 3 → x² − mx − 3 = 0, Δ = m² + 12 > 0 תמיד. למשיק: x² − mx + 3 = 0, Δ = m² − 12 = 0 → m = ±2√3. בחינה מחדש: y = mx + 3 ישיק y = x² כאשר x² − mx − 3 = 0 → Δ = m² + 12 = 0, אין ממשי. אם c = 0: y = mx ישיק y = x² ב-(0,0). הבחירות מציגות m = ±2, נבדוק: x² − 2x − 3 = (x−3)(x+1) — שני חיתוכים. התשובה הנכונה לפי הנתונים: m = ±2√3.
34. 1 < x < 3 — x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3). הביטוי שלילי בין השורשים: 1 < x < 3.
35. −4 — לפי נוסחאות וייטה: סכום שורשים = −p = 4 → p = −4. מכפלת שורשים = q = 3.
36. (2, 1) ו-(−1, −2) — 2/x = x − 1 → 2 = x² − x → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0. x = 2: y = 1. x = −1: y = −2.
37. a > 9/8 — Δ = 9 − 8a < 0 → 8a > 9 → a > 9/8.
38. 55 — זמן מקסימום: t = 30/10 = 3. h(3) = −45 + 90 + 10 = 55.
39. y = −x² + 4x + 1 — y = a(x − 2)² + 5. הציבו (0, 1): 1 = a(4) + 5 = 4a + 5 → 4a = −4 → a = −1. y = −(x − 2)² + 5 = −x² + 4x − 4 + 5 = −x² + 4x + 1.
40. 36 — 2(x + y) = 24 → x + y = 12 → y = 12 − x. S = xy = x(12 − x) = 12x − x². ציר: x = 6. S_max = 6 · 6 = 36.