פונקציות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. (3, −4) — x קודקוד = −b/2a = 6/2 = 3. y = 9 − 18 + 5 = −4. הנקודה (3, −4).
2. y ≤ 4 — y = −x² + 4. מכיוון ש־−x² ≤ 0 תמיד, y ≤ 4 עם מקסימום ב־x = 0.
3. x < −2 או x > 4 — שורשים: x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4 ו־x = −2. הפרבולה נפתחת מעלה, חיובית מחוץ לשורשים.
4. (−2, 4) ו־(3, 9) — x² = x + 6 → x² − x − 6 = 0 → (x − 3)(x + 2) = 0. x = 3 (y=9), x = −2 (y=4).
5. (2, 1) ו־(−2, 1) — x² − 3 = −x² + 5 → 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2. y = 4 − 3 = 1. נקודות (2, 1) ו-(−2, 1).
6. −10 — 5 = a/(−2) → a = 5 · (−2) = −10.
7. x = 1 ו־x = 3 — 2x² − 8x + 6 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 ו־x = 3.
8. 2 — הקודקוד מתחת לציר x (y = −4 < 0) והפרבולה נפתחת מעלה, לכן חייבת לחצות את ציר x בשתי נקודות.
9. 5 — הקודקוד הוא נקודת המקסימום כאשר הפרבולה נפתחת מטה. ערך y המקסימלי = 5.
10. 6 — ציר סימטריה: x = b/(2a) = b/2 = 3 → b = 6.
11. 1 — x² = 8/x → x³ = 8 → x = 2 (פתרון ממשי יחיד). הפונקציה x³ היא חח״ע.
12. (2, 0) ו-(6, 0) — −2(x − 4)² + 8 = 0 → (x − 4)² = 4 → x − 4 = ±2 → x = 6 ו-x = 2.
13. 2 — 18 = a · 9 → a = 2.
14. (2, 8) ו-(−3, 3) — x² + 2x = x + 6 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0. x = 2: y = 4+4=8 ✓ ו-y=2+6=8 ✓. x = −3: y = 9−6=3 ✓ ו-y=−3+6=3 ✓.
15. כן, ב-t = 10 שניות לאחר שיגור ראשון — h₁(t) = 100t − 5t². h₂(t) = 130(t−3) − 5(t−3)². השוואה: 100t − 5t² = 130(t−3) − 5(t−3)². לאחר פתרון: t = 10.
16. 30 ש״ח — מקסימום פרבולה: x = −b/(2a) = −120/(2·(−2)) = 120/4 = 30 ש״ח.
17. a = 0.4 — מ-(0,10): c = 10. מ-(10,10): 100a+10b+10 = 10 ⟹ 100a+10b = 0 ⟹ b = −10a. מ-(5,0): 25a+5(−10a)+10 = 0 ⟹ 25a−50a = −10 ⟹ −25a = −10 ⟹ a = 0.4.
18. ≈ 2.31 שעות — 2N₀ = N₀ · e^(0.3t) ⟹ e^(0.3t) = 2 ⟹ 0.3t = ln2 ≈ 0.693 ⟹ t ≈ 2.31.
19. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.
20. x = 3, x = −1 — x² − 4 = 2x − 1 ⟹ x² − 2x − 3 = 0 ⟹ (x−3)(x+1) = 0 ⟹ x = 3, x = −1.