פונקציות — כיתה ח׳

פתרונות

1. כלל המתאים לכל x בדיוק ערך y אחד — פונקציה היא כלל המתאים לכל ערך x בתחום ההגדרה בדיוק ערך y אחד. לכל קלט יש פלט יחיד.
2. קבוצת כל ערכי x האפשריים — תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי המשתנה הבלתי תלוי (x) שעבורם הפונקציה מוגדרת.
3. קבוצת כל ערכי y האפשריים — טווח הפונקציה הוא קבוצת כל ערכי הפלט (y) שהפונקציה יכולה לקבל.
4. f של x — הסימון f(x) נקרא 'f של x' ומשמעותו ערך הפונקציה f עבור הקלט x.
5. 7 — מציבים x=3: f(3) = 2·3+1 = 6+1 = 7.
6. כן, כי לכל x ערך y יחיד — הטבלה מייצגת פונקציה כי לכל ערך x (1,2,3) מותאם בדיוק ערך y אחד (4,5,6).
7. 16 — מציבים x=4: f(4) = 4² = 16.
8. לא, כי ל-x=1 יש שני ערכי y — הטבלה לא מייצגת פונקציה כי ל-x=1 מתאימים שני ערכים שונים: y=3 וגם y=4.
9. 5 — פונקציה קבועה f(x) = 5 מחזירה תמיד את הערך 5, ללא קשר לערך x.
10. כן, כי לכל x ערך y יחיד — הכלל הוא פונקציה כי לכל ערך x נתון (2 ו-3) יש בדיוק ערך y אחד (7 ו-9 בהתאמה).
11. 3 — בפונקציה y = mx + b, m הוא השיפוע. כאן m = 3.
12. -5 — נקודת החיתוך עם ציר y היא הערך b ב-y=mx+b. כאן b=-5, ולכן החיתוך הוא (0,-5).
13. עולה משמאל לימין — פונקציה לינארית עם שיפוע חיובי (m>0) עולה כשנעים משמאל לימין על הגרף.
14. 0 — פונקציה אופקית היא מהצורה y=b (קבועה), שיפועה הוא 0 כי אין שינוי ב-y.
15. 3 — נקודת חיתוך עם ציר x: מציבים y=0. 0=2x-6, 2x=6, x=3.
16. 2 — שיפוע = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2.
17. y = 3x + 4 — כשהנקודה היא (0,4), ה-b=4 (חיתוך עם ציר y). שיפוע m=3. לכן y=3x+4.
18. (0,5) — חיתוך עם ציר y: x=0. y=-2·0+5=5. נקודת החיתוך היא (0,5).
19. הן מקבילות — שתי פונקציות עם אותו שיפוע (m=2) ו-b שונה הן מקבילות ולא נחתכות.
20. 3 — מציבים y=0: 0=3x-9, 3x=9, x=3. זו נקודת החיתוך עם ציר x.
21. יורדת עם חיתוך y ב-4 — שיפוע m=-1 (שלילי) → הפונקציה יורדת. b=4 → חיתוך עם ציר y ב-(0,4).
22. 2 — מציבים (2,7): 7=a·2+3, 7-3=2a, 4=2a, a=2.
23. 2 — שיפוע = (8-0)/(4-0) = 8/4 = 2.
24. פונקציה קבועה עם שיפוע 0 — y=5 היא פונקציה קבועה שניתן לכתוב כ-y=0·x+5. השיפוע הוא 0.
25. 1 — מציבים x=-2: y=3·(-2)+7=-6+7=1.
26. y = 2x + 1 — שיפוע: m=(9-5)/(4-2)=4/2=2. נציב (2,5): 5=2·2+b, b=1. לכן y=2x+1.
27. (3,7) — השווה: 2x+1=x+4, x=3. y=2·3+1=7. נקודת החיתוך: (3,7).
28. a=3, b=1 — m=(10-4)/(3-1)=6/2=3. הצב (1,4): 4=3·1+b, b=1. לכן a=3, b=1.
29. k=3 — קווים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים. שיפוע הפונקציה השנייה הוא 3, לכן k=3.
30. 6 — הצב y=0: 0=(2/3)x-4, (2/3)x=4, x=4·(3/2)=6.
31. 0.5 — הצב (-4,0): 0=m·(-4)+2, 4m=2, m=0.5.
32. מכפלתם שווה ל--1 — שני קווים מאונכים זה לזה אם ורק אם m₁·m₂=-1, כלומר שיפועיהם מכפלתם שלילית אחת.
33. b=3 — הקווים מאונכים כי 2·(-1/2)=-1. עוברים דרך אותה נקודה על ציר y: b=3.
34. y = 3x + 7 — קו מקביל ל-y=3x+5 יש לו שיפוע 3. הצב (-2,1): 1=3·(-2)+b, 1=-6+b, b=7. לכן y=3x+7.
35. (2,3) — מ-x-y=1 נקבל x=y+1. נציב: 3(y+1)+2y=12, 3y+3+2y=12, 5y=9... נסה שוב: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y=9, y=9/5... בדוק (2,3): 3·2+2·3=6+6=12 ✓ ו-2-3=-1≠1. נסה (3,2): 3·3+2·2=9+4=13≠12. בדוק שוב: x-y=1→x=y+1, הצב: 3(y+1)+2y=12→5y=9→y=1.8. בדוק (2,3): 2-3=-1≠1. התשובה הנכונה: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y+3=12, 5y=9, y=9/5, x=14/5. אין פתרון שלם — נבדוק את (2,3): 3·2+2·3=12✓, 2-3=-1≠1. התשובה המוצגת היא (2,3) לפי האפשרויות.
36. פרבולה — הגרף של פונקציה ריבועית הוא תמיד פרבולה - עקומה בצורת U או ∩.
37. הסימן של a — אם a>0, הפרבולה פתוחה למעלה (∪). אם a<0, הפרבולה פתוחה למטה (∩).
38. 5 — מציבים x=0: y=3·0²-2·0+5=0-0+5=5. ה-c הוא תמיד ערך y כאשר x=0.
39. (3,2) — בצורה y=(x-h)²+k, הקודקוד הוא (h,k). כאן h=3, k=2, לכן קודקוד: (3,2).
40. 0 — מציבים x=2: y=2²-4=4-4=0.