פונקציות — כיתה ח׳ (בינוני)

פתרונות

1. 2 — שיפוע = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2.
2. y = 3x + 4 — כשהנקודה היא (0,4), ה-b=4 (חיתוך עם ציר y). שיפוע m=3. לכן y=3x+4.
3. (0,5) — חיתוך עם ציר y: x=0. y=-2·0+5=5. נקודת החיתוך היא (0,5).
4. הן מקבילות — שתי פונקציות עם אותו שיפוע (m=2) ו-b שונה הן מקבילות ולא נחתכות.
5. 3 — מציבים y=0: 0=3x-9, 3x=9, x=3. זו נקודת החיתוך עם ציר x.
6. יורדת עם חיתוך y ב-4 — שיפוע m=-1 (שלילי) → הפונקציה יורדת. b=4 → חיתוך עם ציר y ב-(0,4).
7. 2 — מציבים (2,7): 7=a·2+3, 7-3=2a, 4=2a, a=2.
8. 2 — שיפוע = (8-0)/(4-0) = 8/4 = 2.
9. פונקציה קבועה עם שיפוע 0 — y=5 היא פונקציה קבועה שניתן לכתוב כ-y=0·x+5. השיפוע הוא 0.
10. 1 — מציבים x=-2: y=3·(-2)+7=-6+7=1.
11. y = 2x + 1 — שיפוע: m=(9-5)/(4-2)=4/2=2. נציב (2,5): 5=2·2+b, b=1. לכן y=2x+1.
12. x=3 — ציר הסימטריה: x=-b/(2a)=-(-6)/(2·1)=6/2=3.
13. (2,-3) — ציר סימטריה: x=4/2=2. y(2)=4-8+1=-3. קודקוד: (2,-3).
14. 1 — y=(x-2)²=0 רק כאשר x=2. הפרבולה נוגעת בציר x בנקודה אחת (2,0).
15. 8 — כי a=-2<0, הפרבולה פתוחה למטה, ולכן יש ערך מקסימלי. הקודקוד ב-x=0: y=-2·0+8=8.
16. x=3 ו-x=-3 — y=0: x²-9=0, x²=9, x=±3. נקודות חיתוך: (3,0) ו-(-3,0).
17. x=1 — בצורה y=a(x-h)²+k, ציר הסימטריה הוא x=h. כאן h=1, לכן x=1.
18. -2 — מציבים x=-1: y=2·1+3·(-1)-1=2-3-1=-2.
19. שלילי — גרף יורד (כלומר y קטן כש-x גדל) מתאים לשיפוע שלילי (m<0).
20. שני שורשים ממשיים שונים — חיתוך עם ציר x פירושו y=0. שתי נקודות חיתוך = שני ערכי x שעבורם y=0 = שני שורשים.
21. f(x)>0 לכל 1<x<4 — כשאומרים שפונקציה חיובית בקטע (1,4), הכוונה שלכל x בקטע זה, f(x)>0.
22. פונקציה תקפה — בדיקת הקו האנכי: אם כל קו אנכי חותך את הגרף לכל היותר פעם אחת, הגרף מייצג פונקציה.
23. 4 — y=12/3=4.
24. 3 — y=kx, 15=k·5, k=15/5=3.
25. 24 — y=k/x, 6=k/4, k=6·4=24.
26. קו עובר דרך הראשית עם שיפוע חיובי — y=kx הוא קו ישר עם b=0 (עובר דרך הראשית) ושיפוע k>0.
27. 2x²+1 — f(g(x))=f(x²)=2x²+1. מציבים g(x)=x² בתוך f.
28. 2x+6 — g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)=2x+6.
29. f⁻¹(x)=(x+4)/2 — y=2x-4 → y+4=2x → x=(y+4)/2 → f⁻¹(x)=(x+4)/2.
30. x — f(g(x))=f(√x)=(√x)²=x (לx≥0). f ו-g הן פונקציות הופכיות זו לזו.
31. x — על פי הגדרת הפונקציה ההופכית, f(f⁻¹(x))=x לכל x בתחום ההגדרה.
32. x — f(g(x))=f(x-4)=(x-4)+4=x.
33. כל x שאינו 3 — הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה שווה לאפס: x-3=0, x=3. לכן תחום ההגדרה הוא כל x≠3.
34. x≥2 — שורש ריבועי מוגדר רק לביטויים אי-שליליים. x-2≥0 → x≥2.
35. y≥1 — x²≥0 לכל x, ולכן x²+1≥1. הערך המינימלי הוא 1 (כאשר x=0).
36. 3 — הצב y=0: 0=-3x+9, 3x=9, x=3.
37. 2 — m=(4-(-2))/(3-0)=6/3=2.
38. y=-x+5 — y-y₁=m(x-x₁): y-3=-1(x-2), y=-x+2+3=-x+5.
39. x=-3 — ציר סימטריה: x=-b/(2a)=-12/(2·2)=-12/4=-3.
40. למטה עם מקסימום 4 — a=-1<0 → פתוחה למטה → יש מקסימום. קודקוד: x=0, y=4. מקסימום y=4.