טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $1$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(90^\circ)=1$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
5. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. $-1$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(270^\circ)=-1$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
9. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}$.
10. $0$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(360^\circ)=0$.
11. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$.
12. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
13. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
14. $-1$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(180^\circ)=-1$.
15. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
16. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
17. $1$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(360^\circ)=1$.
18. $\frac{24}{25}$ — $\cos x=\frac{4}{5}$, ולכן $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
19. $\frac{7}{25}$ — $\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
20. $\frac{120}{169}$ — $\sin x=\frac{12}{13}$, ולכן $\sin 2x=2\cdot\frac{12}{13}\cdot\frac{5}{13}=\frac{120}{169}$.
21. $\cos 2x$ — $1-2\sin^2 x=\cos 2x$.
22. $\cos 2x$ — $2\cos^2 x-1=\cos 2x$.
23. $\tan 2x$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה ל-טנגנס, הביטוי שווה $\tan 2x$.
24. $1$ — זוהי הזהות הפיתגורית: $\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
25. $\frac{1}{\cos^2 x}$ — חלוקת הזהות הפיתגורית ב-$\cos^2 x$ נותנת $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$.
26. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ — $\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45\cos30+\sin45\sin30=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
27. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ — $\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45\cos30-\cos45\sin30=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
28. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ — $\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45\cos30-\sin45\sin30=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
29. $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\ \text{or}\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ — $\sin x=\frac12$ מתקיים עבור $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$.
30. $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$ — $\cos x=\frac12$ מתקיים עבור $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$.
31. $x=\pi k$ — $\tan x=0$ עבור $x=\pi k$.
32. $x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k$ — $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ עבור $x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k$.
33. $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k\ \text{or}\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k$ — $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ עבור $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k$.
34. $\sqrt{57}$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=49+64-2\cdot56\cdot\frac12=57$, ולכן $c=\sqrt{57}$.
35. $\frac{60}{84}=\frac{5}{7}$ — $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{36+49-25}{2\cdot42}=\frac{60}{84}=\frac57$.
36. $\frac{\pi}{2}$ — $\arccos 0=\frac\pi2$ כי $\cos\frac\pi2=0$.
37. $\pi$ — $\arccos(-1)=\pi$ כי $\cos\pi=-1$.
38. $-\frac{\pi}{4}$ — $\arcsin$ בתחום $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, ו-$\sin(-\frac\pi4)=-\frac{\sqrt2}{2}$.
39. $\frac{\pi}{6}$ — $\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}$, ו-התחום של $\arccos$ הוא $[0,\pi]$.
40. $\frac{3}{5}$ — הרכבת פונקציה עם הופכיתה: $\sin(\arcsin x)=x$ עבור $x\in[-1,1]$.