טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$.
2. $0$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(0^\circ)=0$.
3. $\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
4. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$.
7. $0$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(90^\circ)=0$.
8. $\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(300^\circ)=\frac{1}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. $\sin 2x$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה, $2\sin x\cos x=\sin 2x$.
11. $\cos 2x$ — $\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$.
12. $\sin a\cos b-\cos a\sin b$ — נוסחת הפרש הזוויות: $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.
13. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ — $\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45\cos30+\cos45\sin30=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
14. $x=\pi+2\pi k$ — $\cos x=-1$ עבור $x=\pi+2\pi k$.
15. $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ — מקסימום הסינוס: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$.
16. $\sqrt{129}$ — $c^2=64+25-2\cdot40\cdot(-\frac12)=89+40=129$, ולכן $c=\sqrt{129}$.
17. $\frac{\pi}{6}$ — $\arcsin$ מחזיר ערך בתחום $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, ו-$\sin\frac\pi6=\frac12$.
18. $\pi$ — מחזור $\sin(bx)$ הוא $\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
19. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם: $|3|=3$.
20. $\frac{\pi}{4}$ — $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$ רדיאנים.
21. $\frac{\pi}{6}$ — $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$ רדיאנים.
22. $\sin^2 x$ — מהזהות הפיתגורית $1-\cos^2 x=\sin^2 x$.
23. $\sin^2 x$ — מנוסחת חצי-זווית: $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.
24. $\sin x$ — $\tan x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cos x=\sin x$.
25. $2$ — בתחום אחד יש שני פתרונות: $\frac\pi6$ ו-$\frac{5\pi}6$.
26. $\frac{1}{2}$ — מצמצמים $150^\circ$ אל $150^\circ$, ולכן $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$.
27. $0$ — מצמצמים $180^\circ$ אל $180^\circ$, ולכן $\sin(180^\circ)=0$.
28. $1$ — מצמצמים $450^\circ$ אל $90^\circ$, ולכן $\sin(450^\circ)=1$.
29. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $480^\circ$ אל $120^\circ$, ולכן $\sin(480^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
30. $0$ — מצמצמים $0^\circ$ אל $0^\circ$, ולכן $\sin(0^\circ)=0$.
31. $\frac{1}{2}$ — מצמצמים $30^\circ$ אל $30^\circ$, ולכן $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
32. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $300^\circ$ אל $300^\circ$, ולכן $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
33. $-\frac{1}{2}$ — מצמצמים $330^\circ$ אל $330^\circ$, ולכן $\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}$.
34. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $600^\circ$ אל $240^\circ$, ולכן $\sin(600^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
35. $-1$ — מצמצמים $630^\circ$ אל $270^\circ$, ולכן $\sin(630^\circ)=-1$.
36. $\frac{1}{2}$ — מצמצמים $150^\circ$ אל $150^\circ$, ולכן $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$.
37. $0$ — מצמצמים $180^\circ$ אל $180^\circ$, ולכן $\sin(180^\circ)=0$.
38. $1$ — מצמצמים $450^\circ$ אל $90^\circ$, ולכן $\sin(450^\circ)=1$.
39. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $480^\circ$ אל $120^\circ$, ולכן $\sin(480^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
40. $0$ — מצמצמים $0^\circ$ אל $0^\circ$, ולכן $\sin(0^\circ)=0$.