הסתברות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $6$ — $\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=6$.
2. $\frac{32}{81}$ — לפי ההתפלגות הבינומית $P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{1}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{32}{81}$.
3. $5$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=10\cdot \frac{1}{2}=5$.
4. $4$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=12\cdot \frac{1}{3}=4$.
5. $5$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=20\cdot \frac{1}{4}=5$.
6. $6$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=30\cdot \frac{1}{5}=6$.
7. $6$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=8\cdot \frac{3}{4}=6$.
8. $10$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=15\cdot \frac{2}{3}=10$.
9. $4$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=24\cdot \frac{1}{6}=4$.
10. $3$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=9\cdot \frac{1}{3}=3$.
11. $4$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=16\cdot \frac{1}{4}=4$.
12. $9$ — בהתפלגות בינומית $E(X)=np=18\cdot \frac{1}{2}=9$.
13. $\frac{5}{2}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=10\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
14. $\frac{8}{3}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=12\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.
15. $\frac{15}{4}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=20\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{4}$.
16. $\frac{3}{2}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=8\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$.
17. $3$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=16\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=3$.
18. $2$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=9\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=2$.
19. $\frac{9}{2}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=18\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$.
20. $\frac{10}{3}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=24\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{3}$.
21. $\frac{24}{5}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=30\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{5}$.
22. $\frac{10}{3}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=15\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{10}{3}$.
23. $\frac{3}{4}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{2}{5}}=\frac{3}{4}$.
24. $\frac{2}{5}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}$.
25. $\frac{1}{3}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}$.
26. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{4}{7}}=\frac{1}{2}$.
27. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$.
28. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.
29. $\frac{2}{3}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$.
30. $\frac{4}{5}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}$.
31. $\frac{1}{3}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.
32. $\frac{3}{7}$ — הסתברות המאורע המשלים:$ P(\bar A)=1-P(A)=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$.
33. $\frac{5}{6}$ — הסתברות המאורע המשלים:$ P(\bar A)=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
34. $\frac{7}{12}$ — הסתברות המאורע המשלים:$ P(\bar A)=1-P(A)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$.
35. $\frac{1}{2}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{2}$.
36. $\frac{2}{3}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.
37. $\frac{1}{2}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$.
38. $\frac{1}{2}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{2}$.
39. $\frac{1}{2}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{3}{8}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
40. $\frac{7}{10}$ — לפי כלל החיבור $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$.