חזקות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $x=4$ — $81=3^4$, לכן $3^x=3^4$ ומכאן $x=4$.
2. $\log(ab)$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$.
3. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 27=3$ כי הבסיס בחזקת 3 נותן את המספר.
4. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 81=4$ כי הבסיס בחזקת 4 נותן את המספר.
5. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_5 25=2$ כי הבסיס בחזקת 2 נותן את המספר.
6. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 1000=3$ כי הבסיס בחזקת 3 נותן את המספר.
7. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
8. $5$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 32=5$ כי הבסיס בחזקת 5 נותן את המספר.
9. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_5 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
10. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_7 49=2$ כי הבסיס בחזקת 2 נותן את המספר.
11. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
12. $-2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 \frac{1}{9}=-2$ כי הבסיס בחזקת -2 נותן את המספר.
13. $6$ — $\log_5 25^3=3\log_5 25=3\cdot2=6$.
14. $4$ — $2\log_2 4=2\cdot2=4$.
15. $5\log_a x$ — $\log_a x^2+\log_a x^3=\log_a x^5=5\log_a x$.
16. $5$ — $\log(1000\cdot100)=\log 10^5=5$.
17. $\log_a 15$ — חוק המכפלה: $\log_a 5+\log_a 3=\log_a 15$.
18. $x=-2$ — $3^x=3^{-2}\Rightarrow x=-2$.
19. $x=3$ — $2^{x+1}=2^4\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3$.
20. $x=\frac{3}{2}$ — $5^{2x}=5^3\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac32$.
21. $x=1$ — $2^{2x}=2^{x+1}\Rightarrow 2x=x+1\Rightarrow x=1$.
22. $x=\log_2 10$ — לוקחים $\log_2$ משני האגפים: $x=\log_2 10$.
23. $x=9$ — $x=3^2=9$.
24. $x=9$ — $x-1=2^3=8\Rightarrow x=9$.
25. $x=100$ — $x=10^2=100$.
26. $x=1$ — $x=e^0=1$.
27. $x=e$ — $x=e^1=e$.
28. $x<-2$ — $3^x<3^{-2}$, בסיס $>1$, ולכן $x<-2$.
29. $x<-2$ — בסיס בין $0$ ל-$1$ הופך את הכיוון: $\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^{-2}\Rightarrow x<-2$.
30. $x>8$ — $x>2^3=8$ (וגם $x>0$), ולכן $x>8$.
31. $0<x<\frac{1}{2}$ — בסיס בין $0$ ל-$1$ הופך כיוון: $x<\left(\frac12\right)^1=\frac12$, ועם $x>0$ מקבלים $0<x<\frac12$.
32. $x\le 0$ — $2^x\le2^0\Rightarrow x\le0$.
33. $8$ — $\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8$.
34. $4$ — $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$.
35. $\frac{1}{3}$ — $9^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt9}=\frac13$.
36. $27$ — $81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27$.
37. $\frac{4}{9}$ — $\left(\frac{8}{27}\right)^{2/3}=\frac{(\sqrt[3]8)^2}{(\sqrt[3]{27})^2}=\frac{4}{9}$.
38. $e^x$ — הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$.
39. $\frac{1}{x}$ — הנגזרת של $\ln x$ היא $\frac1x$.
40. $x=e^2$ — $x=e^2$.