פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל

פתרונות

1. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 2 בחלוקה ב-4: $2 = 4 \cdot 0 + 2$, ולכן $i^{2} = i^{2} = $ $-1$.
2. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 3 בחלוקה ב-4: $3 = 4 \cdot 0 + 3$, ולכן $i^{3} = i^{3} = $ $-i$.
3. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 4 בחלוקה ב-4: $4 = 4 \cdot 1 + 0$, ולכן $i^{4} = i^{0} = $ $1$.
4. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 5 בחלוקה ב-4: $5 = 4 \cdot 1 + 1$, ולכן $i^{5} = i^{1} = $ $i$.
5. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 6 בחלוקה ב-4: $6 = 4 \cdot 1 + 2$, ולכן $i^{6} = i^{2} = $ $-1$.
6. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 7 בחלוקה ב-4: $7 = 4 \cdot 1 + 3$, ולכן $i^{7} = i^{3} = $ $-i$.
7. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 8 בחלוקה ב-4: $8 = 4 \cdot 2 + 0$, ולכן $i^{8} = i^{0} = $ $1$.
8. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 10 בחלוקה ב-4: $10 = 4 \cdot 2 + 2$, ולכן $i^{10} = i^{2} = $ $-1$.
9. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 11 בחלוקה ב-4: $11 = 4 \cdot 2 + 3$, ולכן $i^{11} = i^{3} = $ $-i$.
10. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 13 בחלוקה ב-4: $13 = 4 \cdot 3 + 1$, ולכן $i^{13} = i^{1} = $ $i$.
11. $-1$ — על פי ההגדרה של היחידה המדומה, $i^2=-1$. זוהי תכונת היסוד של מספרים מרוכבים.
12. $3 + 7i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(2) + (1) = 3$ עבור הממשי, $(3) + (4) = 7$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $3 + 7i$.
13. $8 + 4i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(5) + (3) = 8$ עבור הממשי, $(-2) + (6) = 4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $8 + 4i$.
14. $3 + 3i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(1) + (2) = 3$ עבור הממשי, $(1) + (2) = 3$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $3 + 3i$.
15. $2 + 4i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(4) - (2) = 2$ עבור הממשי, $(5) - (1) = 4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $2 + 4i$.
16. $5 - 5i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(7) - (2) = 5$ עבור הממשי, $(3) - (8) = -5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $5 - 5i$.
17. $2 + 2i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(-3) + (5) = 2$ עבור הממשי, $(4) + (-2) = 2$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $2 + 2i$.
18. $7 - 4i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(6) + (1) = 7$ עבור הממשי, $(-1) + (-3) = -4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $7 - 4i$.
19. $4 + 5i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(0) + (4) = 4$ עבור הממשי, $(5) + (0) = 5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $4 + 5i$.
20. $5i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(3) - (3) = 0$ עבור הממשי, $(7) - (2) = 5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $5i$.
21. $-6 - 4i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(-2) - (4) = -6$ עבור הממשי, $(-3) - (1) = -4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $-6 - 4i$.
22. $5 + i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 3i)(1 - i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-1)i + 3i\cdot1 + 3i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -3i^2 = 3$. החלק הממשי: $2 + 3 = 5$, החלק המדומה: $1i$. התוצאה: $5 + i$.
23. $-5 + 10i$ — נפתח סוגריים: $(1 + 2i)(3 + 4i) = 1\cdot3 + 1\cdot(4)i + 2i\cdot3 + 2i\cdot4i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 8i^2 = -8$. החלק הממשי: $3 - 8 = -5$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $-5 + 10i$.
24. $5$ — נפתח סוגריים: $(2 + i)(2 - i) = 2\cdot2 + 2\cdot(-1)i + 1i\cdot2 + 1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -1i^2 = 1$. החלק הממשי: $4 + 1 = 5$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $5$.
25. $7 + 4i$ — נפתח סוגריים: $(3 - 2i)(1 + 2i) = 3\cdot1 + 3\cdot(2)i + -2i\cdot1 + -2i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -4i^2 = 4$. החלק הממשי: $3 + 4 = 7$, החלק המדומה: $4i$. התוצאה: $7 + 4i$.
26. $2i$ — נפתח סוגריים: $(1 + i)(1 + i) = 1\cdot1 + 1\cdot(1)i + 1i\cdot1 + 1i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $1 - 1 = 0$, החלק המדומה: $2i$. התוצאה: $2i$.
27. $13$ — נפתח סוגריים: $(2 - 3i)(2 + 3i) = 2\cdot2 + 2\cdot(3)i + -3i\cdot2 + -3i\cdot3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -9i^2 = 9$. החלק הממשי: $4 + 9 = 13$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $13$.
28. $3 + 5i$ — נפתח סוגריים: $(4 + i)(1 + i) = 4\cdot1 + 4\cdot(1)i + 1i\cdot1 + 1i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $4 - 1 = 3$, החלק המדומה: $5i$. התוצאה: $3 + 5i$.
29. $-5 + 5i$ — נפתח סוגריים: $(-1 + 2i)(3 + i) = -1\cdot3 + -1\cdot(1)i + 2i\cdot3 + 2i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 2i^2 = -2$. החלק הממשי: $-3 - 2 = -5$, החלק המדומה: $5i$. התוצאה: $-5 + 5i$.
30. $10i$ — נפתח סוגריים: $(5)(2i) = 5\cdot0 + 5\cdot(2)i + 0i\cdot0 + 0i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 0i^2 = 0$. החלק הממשי: $0 + 0 = 0$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $10i$.
31. $-2i$ — נפתח סוגריים: $(1 - i)(1 - i) = 1\cdot1 + 1\cdot(-1)i + -1i\cdot1 + -1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $1 - 1 = 0$, החלק המדומה: $-2i$. התוצאה: $-2i$.
32. $2 + 10i$ — נפתח סוגריים: $(3 + 2i)(2 + 2i) = 3\cdot2 + 3\cdot(2)i + 2i\cdot2 + 2i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 4i^2 = -4$. החלק הממשי: $6 - 4 = 2$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $2 + 10i$.
33. $8 - 4i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 2i)(1 - 3i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-3)i + 2i\cdot1 + 2i\cdot-3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -6i^2 = 6$. החלק הממשי: $2 + 6 = 8$, החלק המדומה: $-4i$. התוצאה: $8 - 4i$.
34. $3 - 4i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=3$, $b=4$, ולכן הצמוד הוא $3 - 4i$.
35. $2 + 5i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=2$, $b=-5$, ולכן הצמוד הוא $2 + 5i$.
36. $-1 - 2i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=-1$, $b=2$, ולכן הצמוד הוא $-1 - 2i$.
37. $6 - i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=6$, $b=1$, ולכן הצמוד הוא $6 - i$.
38. $-3i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=0$, $b=3$, ולכן הצמוד הוא $-3i$.
39. $-4 + 2i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=-4$, $b=-2$, ולכן הצמוד הוא $-4 + 2i$.
40. $5 + 3i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=5$, $b=-3$, ולכן הצמוד הוא $5 + 3i$.