חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $5x^4$ — $x^2\cdot x^3=x^5$, ולכן $f'(x)=5x^4$. (בכלל המכפלה: $2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$.)
2. $e^x(x+1)$ — כלל המכפלה: $f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$.
3. $4x-5$ — כלל המכפלה: $2(x-3)+(2x+1)\cdot 1=2x-6+2x+1=4x-5$.
4. $4x^3$ — $f(x)=x^4-1$, ולכן $f'(x)=4x^3$. (גם בכלל המכפלה: $2x(x^2-1)+(x^2+1)2x=4x^3$.)
5. $\ln x+1$ — $f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$.
6. $3x^2+8x$ — $f(x)=x^3+4x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2+8x$.
7. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
8. $-\frac{3}{x^2}$ — $f(x)=2+\frac{3}{x}=2+3x^{-1}$, ולכן $f'(x)=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}$.
9. $-\frac{6}{x^3}$ — $f(x)=3x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
10. $1-\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x+\frac{1}{x}$, ולכן $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$.
11. $\frac{-5}{(x-2)^2}$ — $f(x)=5(x-2)^{-1}$, ולכן $f'(x)=-5(x-2)^{-2}=\frac{-5}{(x-2)^2}$.
12. $6(2x+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2$.
13. $10x(x^2+1)^4$ — $5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4$.
14. $3e^{3x}$ — כלל השרשרת: $e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
15. $\frac{1}{x}$ — $f'(x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$.
16. $-4(3-x)^3$ — $4(3-x)^3\cdot(-1)=-4(3-x)^3$.
17. $-e^{-x}$ — $f'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.
18. $\frac{5}{5x-1}$ — $f'(x)=\frac{(5x-1)'}{5x-1}=\frac{5}{5x-1}$.
19. $2e^{2x+1}$ — $f'(x)=e^{2x+1}\cdot 2=2e^{2x+1}$.
20. $\frac{3}{x}$ — $f'(x)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}$. (גם: $\ln(x^3)=3\ln x$, נגזרת $\frac{3}{x}$.)
21. $e^x+\frac{1}{x}$ — גוזרים אבר אבר: $e^x+\frac{1}{x}$.
22. $1$ — $f'(x)=e^x$, ובנקודה $x=0$: $f'(0)=e^0=1$.
23. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{x}$, ובנקודה $x=2$: $f'(2)=\frac{1}{2}$.
24. $e^x$ — $f'(x)=e^x$ ו-$f''(x)=e^x$ — כל הנגזרות של $e^x$ הן $e^x$.
25. $2e^x-\frac{1}{x}$ — גוזרים אבר אבר: $2e^x-\frac{1}{x}$.
26. $\frac{1}{x}+2x$ — גוזרים אבר אבר: $\frac{1}{x}+2x$.
27. $3$ — $f'(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3$.
28. מינימום — $f''(x)=2>0$, ולכן הקיצון הוא מינימום (פרבולה פתוחה למעלה).
29. $3$ — $f'(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2$, ואז $f(2)=4-8+7=3$.
30. מינימום — מבחן הנגזרת השנייה: $f''(a)>0$ מציין נקודת מינימום.
31. $6$ — $f'(x)=-2x+8=0\Rightarrow x=4$, ואז $f(4)=-16+32-10=6$.
32. $f''(x)=0$ (והחלפת סימן) — בנקודת פיתול הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן (שינוי כיוון הקעירות).
33. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$, שם הפונקציה אינה מוגדרת ושואפת לאינסוף — אסימפטוטה אנכית $x=3$.
34. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x-3}\to 0$, ולכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
35. $x=0$ — $f''(x)=6x=0\Rightarrow x=0$, וסימן $f''$ מתחלף שם — נקודת פיתול ב-$x=0$.
36. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x^2}\to 0$, ולכן $y=0$.
37. $4$ — $\int 2x\,dx=x^2$. הצבה: $2^2-0^2=4$.
38. $\frac{26}{3}$ — $\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}$. הצבה: $\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$.
39. $e-1$ — $\int e^x\,dx=e^x$. הצבה: $e^1-e^0=e-1$.
40. $12$ — $\int(2x+1)\,dx=x^2+x$. הצבה: $(9+3)-(0)=12$.