חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $5x^4$ — $x^2\cdot x^3=x^5$, ולכן $f'(x)=5x^4$. (בכלל המכפלה: $2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$.)
2. $e^x(x+1)$ — כלל המכפלה: $f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$.
3. $4x-5$ — כלל המכפלה: $2(x-3)+(2x+1)\cdot 1=2x-6+2x+1=4x-5$.
4. $4x^3$ — $f(x)=x^4-1$, ולכן $f'(x)=4x^3$. (גם בכלל המכפלה: $2x(x^2-1)+(x^2+1)2x=4x^3$.)
5. $\ln x+1$ — $f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$.
6. $3x^2+8x$ — $f(x)=x^3+4x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2+8x$.
7. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
8. $-\frac{3}{x^2}$ — $f(x)=2+\frac{3}{x}=2+3x^{-1}$, ולכן $f'(x)=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}$.
9. $-\frac{6}{x^3}$ — $f(x)=3x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
10. $1-\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x+\frac{1}{x}$, ולכן $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$.
11. $\frac{-5}{(x-2)^2}$ — $f(x)=5(x-2)^{-1}$, ולכן $f'(x)=-5(x-2)^{-2}=\frac{-5}{(x-2)^2}$.
12. $6(2x+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2$.
13. $10x(x^2+1)^4$ — $5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4$.
14. $3e^{3x}$ — כלל השרשרת: $e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
15. $\frac{1}{x}$ — $f'(x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$.
16. $-4(3-x)^3$ — $4(3-x)^3\cdot(-1)=-4(3-x)^3$.
17. $-e^{-x}$ — $f'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.
18. $\frac{5}{5x-1}$ — $f'(x)=\frac{(5x-1)'}{5x-1}=\frac{5}{5x-1}$.
19. $2e^{2x+1}$ — $f'(x)=e^{2x+1}\cdot 2=2e^{2x+1}$.
20. $\frac{3}{x}$ — $f'(x)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}$. (גם: $\ln(x^3)=3\ln x$, נגזרת $\frac{3}{x}$.)