חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $2x\ln x+x$ — כלל המכפלה: $f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x+x$.
2. $x^2 e^x(3+x)$ — $f'(x)=3x^2 e^x+x^3 e^x=x^2 e^x(3+x)$.
3. $e^x(3x+1)$ — $f'(x)=3e^x+(3x-2)e^x=e^x(3+3x-2)=e^x(3x+1)$.
4. $e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x+\sqrt{x}\,e^x=e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$.
5. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
6. $\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ — $\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$.
7. $\frac{1-\ln x}{x^2}$ — $\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.
8. $\frac{-2}{(x-1)^2}$ — $\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$.
9. $\frac{1-x}{e^x}$ — $\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$.
10. $4$ — $f'(x)=\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$. בנקודה $x=0$: $\frac{4}{1}=4$.
11. $2xe^{x^2}$ — $f'(x)=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2}$.
12. $\frac{2x}{x^2+1}$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$.
13. $\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$ — $f(x)=(2x+5)^{1/2}$, $f'(x)=\frac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.
14. $2(x^3-2x)(3x^2-2)$ — $f'(x)=2(x^3-2x)\cdot(3x^2-2)$.
15. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — $f(x)=(x+2)^{-2}$, $f'(x)=-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
16. $(2x-3)e^{x^2-3x}$ — $f'(x)=e^{x^2-3x}\cdot(2x-3)$.
17. $\frac{4}{5}$ — $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$. בנקודה $x=4$: $\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$.
18. $-\frac{1}{x^2}$ — $f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, $f''(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
19. לא נכון, אין נקודת קיצון — $f'(x)=e^x>0$ לכל $x$, הנגזרת לעולם אינה מתאפסת, ולכן אין נקודת קיצון.
20. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$.
21. מקסימום — $f''(x)=6x$, ב-$x=-1$: $f''(-1)=-6<0$, ולכן מקסימום.
22. מינימום — $f''(1)=6\cdot 1=6>0$, ולכן מינימום.
23. $x=-1$ — $f'(x)=e^x(x+1)=0$. כיוון ש-$e^x\neq 0$, נקבל $x+1=0\Rightarrow x=-1$.
24. $x=1$ — $f'(x)=\frac{1}{x}-1=0\Rightarrow \frac{1}{x}=1\Rightarrow x=1$.
25. מקסימום — $f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ לכל $x>0$, ולכן הקיצון הוא מקסימום.
26. $x=-2$ — $f'(x)=e^x(x^2+2x)=e^x x(x+2)=0$. הפתרונות $x=0$ ו-$x=-2$. השונה מ-$0$ הוא $x=-2$.
27. $3$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\Rightarrow x=0,1,-1$ — שלוש נקודות קיצון.
28. מקסימום מקומי — $f''(x)=12x^2-4$, $f''(0)=-4<0$, ולכן ב-$x=0$ מקסימום מקומי.
29. $x=\sqrt{2}$ — $f'(x)=x-\frac{2}{x}=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}$ (תחום $x>0$).
30. $2$ — $f''(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2$. סימן $f''$ מתחלף שם, ולכן זו נקודת פיתול.
31. $x=2$ וגם $x=-2$ — $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$. המונה אינו מתאפס שם, ולכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
32. $y=3$ — כאשר $x\to\pm\infty$, היחס בין מקדמי החזקות הגבוהות הוא $\frac{3}{1}=3$, ולכן $y=3$.
33. $x>2$ — $f''(x)=6x-12>0\Rightarrow x>2$, ושם הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
34. $y=5$ — דרגות שוות (1), יחס המקדמים המובילים $\frac{5}{1}=5$, ולכן $y=5$.
35. לכל $x\neq 0$ — $f''(x)=12x^2\geq 0$, וחיובי ממש לכל $x\neq 0$, ולכן קעורה כלפי מעלה שם.
36. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$, וסימן $f''$ מתחלף — נקודת פיתול ב-$x=1$.
37. $x=1$ — $\ln(x-1)$ מוגדר ל-$x>1$ ושואף ל-$-\infty$ כאשר $x\to 1^+$, ולכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
38. $2$ — $f''(x)=12x^2-12=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$ — שתי נקודות פיתול.
39. $y=0$ — דרגת המכנה ($2$) גבוהה מדרגת המונה ($1$), ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ הפונקציה $\to 0$ — אסימפטוטה $y=0$.
40. $1$ — $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x$. הצבה: $\ln e-\ln 1=1-0=1$.