חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $2x\ln x+x$ — כלל המכפלה: $f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x+x$.
2. $x^2 e^x(3+x)$ — $f'(x)=3x^2 e^x+x^3 e^x=x^2 e^x(3+x)$.
3. $e^x(3x+1)$ — $f'(x)=3e^x+(3x-2)e^x=e^x(3+3x-2)=e^x(3x+1)$.
4. $e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x+\sqrt{x}\,e^x=e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$.
5. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
6. $\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ — $\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$.
7. $\frac{1-\ln x}{x^2}$ — $\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.
8. $\frac{-2}{(x-1)^2}$ — $\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$.
9. $\frac{1-x}{e^x}$ — $\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$.
10. $4$ — $f'(x)=\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$. בנקודה $x=0$: $\frac{4}{1}=4$.
11. $2xe^{x^2}$ — $f'(x)=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2}$.
12. $\frac{2x}{x^2+1}$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$.
13. $\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$ — $f(x)=(2x+5)^{1/2}$, $f'(x)=\frac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.
14. $2(x^3-2x)(3x^2-2)$ — $f'(x)=2(x^3-2x)\cdot(3x^2-2)$.
15. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — $f(x)=(x+2)^{-2}$, $f'(x)=-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
16. $(2x-3)e^{x^2-3x}$ — $f'(x)=e^{x^2-3x}\cdot(2x-3)$.
17. $\frac{4}{5}$ — $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$. בנקודה $x=4$: $\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$.
18. $-\frac{1}{x^2}$ — $f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, $f''(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
19. לא נכון, אין נקודת קיצון — $f'(x)=e^x>0$ לכל $x$, הנגזרת לעולם אינה מתאפסת, ולכן אין נקודת קיצון.
20. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$.